Cómo puedo calcular el radio de una circunferencia que toca AD y DC y pasa por el punto B de un cuadrado

Question

Estoy teniendo muchos problemas con un ejercicio en el que tengo que calcular el radio de una circunferencia que sólo toca AD y CD de un cuadrado de lado 1 de longitud y que pasa por el punto B.
Este es mi boceto:

Después de pensar en ello durante unos 20 minutos, no puedo encontrar un enfoque para resolver esto.
Es que no tengo ningún parámetro dado.
¿Alguien tiene alguna idea de cómo solucionar esto?

Answer 1

Dejemos que $I$ y $J$ sean los puntos de tangencia.

Así que, $OI=JO=OB=r$ y luego

$$OD=r\sqrt{2} \quad \text{(Pythagoras Theorem)}$$

$$BD=BO+OD=\sqrt{2}=r+r\sqrt{2} \Rightarrow r=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$$

Answer 2

El círculo sólo toca los lados, es decir, los lados son tangentes al círculo. Digamos que el centro del círculo es O, el punto que toca a DC es M, el punto que toca a AD es N. Se puede demostrar fácilmente que O está en la diagonal BD (dos triángulos rectos DNO y DMO). Entonces, digamos que el radio del círculo se denota por $R$ . La longitud ON=OM= $R$ y como O está en la diagonal, DNO y DMO son triángulos isósceles de ángulo recto. Entonces ON=ND= $R$ , por lo que OD= $R\sqrt{2}$ . La longitud de BD= $\sqrt{2}$ =OB+OD= $R+R\sqrt{2}$ . Por lo tanto, $R=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

Answer 3

Este problema es mucho más fácil a la inversa. Comience con un círculo de radio $1$ centrado en $(0,0)$ en coordenadas cartesianas.

Entonces sabemos

$CD$ tiene la ecuación $y=1$

$AD$ tiene la ecuación $x=-1$

$B$ está en $\left(\sqrt{\frac 12},-\sqrt{\frac 12}\right)$ .

Por lo tanto, la longitud lateral del cuadrado es $\sqrt{\frac 12}+1$ .

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Ahora, por argumentos de escala, podemos decir que para un cuadrado de longitud lateral $1$ ,

$R= \frac1{\sqrt{\frac 12}+1} = \frac{\sqrt2}{1+\sqrt2}$ .