Los seres humanos han demostrado Schinzel de la conjetura para un determinado número racional?

Question

Me preguntó el Hada de los Dientes sobre Schinzel la conjetura de que si $x$ es un número racional positivo, entonces puede ser representado como $$\frac{p + 1}{q + 1}$$ where $p$ and $p$ are primes, for infinitely many pairs of primes $p$ and $p$. Ella dijo que ella casi se vino arriba con una prueba de hace doscientos años, que Skogsrået la golpeaba a ella, pero ella nunca se comprobó la madera de la ninfa de la prueba.

Obviamente, los seres humanos nunca han probado o refutado. Pero no puedo encontrar ninguna referencia en la literatura a los seres humanos de prueba de un caso específico, como por ejemplo $$x = \frac{1}{2}.$$ Obviously the denominator doesn't have to be a power of $2$, any even number will do, so we can do $$\frac{1}{2} = \frac{6}{12} = \frac{12}{24} = \frac{24}{48} = \ldots$$

Los seres humanos han demostrado un caso específico como éste? Este acertijo me tiene perplejo.

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EDIT: se me olvidó el importante detalle acerca de infinitos pares de números primos.

Answer 1

Sí, para $x = 1$. No importa si me crees, pero yo pensé que antes de leer los comentarios. A continuación,$p = q$. También pensé en $x = -1$, en cuyo caso $p = -(q + 2)$; para mi agradable sorpresa, esto conduce a la doble primer conjetura (supongo que no los demonios saber si esta conjetura es verdadera o falsa).

Pero usted dijo específicamente "positivo". Usted no dice específicamente "no trivial", que es lo $x = 1$ es. Demostrando un trivial caso de esta conjetura da a los dos por el precio de uno: si es cierto para $x$, también es cierto para el recíproco de $x$ (y como usted ya sabe, $1$ es su propia recíproca).

Si usted había especificado "no trivial", entonces yo sería publicar todo esto como un comentario, en lugar de una respuesta. Nosotros, los seres humanos sabemos que existen infinitos números primos de la forma $4k + 1$ $k$ un entero. Creo que este hecho puede ser usado para demostrar al menos dos casos específicos de la conjetura. Pero $x = 1$ es suficiente para responder a su pregunta como has redactado.