$(\bar x , \bar y-1)$ no es un director ideal de $A=\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2-1)$

Question

Deje $A=\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2-1)$ ; a continuación, $A$ es una parte integral de dominio . Considerar el ideal maximal $P=(\bar x , \bar y-1)$$A$ . Entonces, ¿cómo demostrar que $P$ no es un director ideal ?

Answer 1

podemos considerar $S=R[x,y]/<x,x^2+y^2-1>$es isomorfo a $R[y]/<y^2-1>$.comentario $S$ es uno de los principales ideales del anillo.si el ideal es principal.denotar $<f^->=<x^-,(y-1)^->$.en S,que también iguales.Para que podamos obtener el $f=k(y-1)+gx+h(x^2+y^2-1)$donde $g,h\in R[x,y],k\in R$.el mismo argumento,podemos obtener $f=k(y-1)+lx+h(x^2+y^2-1)$donde $k,l\in R$,esto es una contradicción.