Chaflanes y ecuaciones diferenciales

Question

¿Cómo surgen las láminas en el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias?

EDITAR: ¿Es posible construir gavillas no isomorfas en un dominio $D \subset \mathbb{R}^n$ utilizando conjuntos de soluciones de ecuaciones diferenciales?

EDITAR: ¿Es el haz de espacios vectoriales que surge del conjunto de soluciones de una EDO lineal necesariamente un haz vectorial?

Answer 1

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ y que $X$ sea un campo vectorial en $U$ . Se puede construir una gavilla $\mathcal F$ de soluciones de la EDO $Xf=0$ dejando $\mathcal F(U)$ para cada subconjunto abierto $V\subseteq U$ sea el espacio vectorial de todos los $C^\infty$ funciones $f$ en $V$ tal que $Xf=0$ .

Al cambiar el campo $X$ ciertamente puede cambiar la clase de isomorfismo de $\mathcal F$ .

Dejemos que $U=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ definir los campos $X_1(x,y)=\Bigl((\frac1r-1)\frac xr-y,(\frac1r-1)\frac yr+x\Bigr)$ y $X_2(x,y)=(y,-x)$ y considerar las correspondientes láminas $\mathcal F_1$ y $\mathcal F_2$ . No es difícil demostrar que $\mathcal F_1(U)$ es unidimensional como espacio vectorial real, mientras que $\mathcal F_2(U)$ es de dimensión infinita. De ello se desprende que $\mathcal F_1\not\cong\mathcal F_2$ .

Observe que $\mathcal F_1$ y $\mathcal F_2$ son localmente isomorfas. Esto se deduce fácilmente del hecho de que los campos $X_1$ y $X_2$ son distintos de cero en su dominio.

Answer 2

Voy a empezar a comentar la respuesta de Mariano. Creo que es una respuesta perfecta para la pregunta

¿Cómo surgen las gavillas al estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales?

pero no para la pregunta

¿Cómo surgen las gavillas al estudiar soluciones a ordinario diferencial ecuaciones diferenciales?

Según la terminología actual, una función $f$ satisfaciendo $X(f)=0$ no es una solución del campo vectorial $X$ sino una primera integral. Además, si $X = a(x,y) \partial_x + b(x,y) \partial_y$ entonces $$ X(f) = a \partial_x f + b \partial_y f . $$ Así, $X(f)=0$ es una EDP y no una EDO. De hecho t3suji hizo el mismo punto en un comentario sobre la respuesta de Mariano. Entiendo que las soluciones de (la EDO determinada por) $X$ como funciones $\gamma : V \subset \mathbb R \to U$ satisfaciendo $X(\gamma(t))=\gamma'(t)$ por cada $t \in V$ . Obsérvese que aquí sí tenemos un sistema de EDOs.

Un campo vectorial puede pensarse como una ecuación diferencial autónoma y no veo claro cómo considerar la gavilla de sus soluciones.

Por otro lado, cuando tenemos una ecuación diferencial ordinaria no autónoma, existe su gajo de soluciones. Este conjunto es un conjunto sobre la variable temporal y no sobre todo el espacio. (En este punto es natural hablar de conexiones y/o haces de chorros, pero intentaré mantener las cosas lo más elementales posible. )

Obsérvese que, en general, la gavilla de soluciones no será una gavilla de espacios vectoriales: la suma de dos soluciones, o la multiplicación de una solución por una constante no tienen por qué ser una solución. Esto sólo ocurrirá cuando la ecuación diferencial sea lineal.

Las ecuaciones diferenciales $y'(t) = y$ y $y'(t) = y^2$ , ambas definidas sobre toda la recta real, son ejemplos de ecuaciones diferenciales con gavillas de soluciones no isomorfas. Las soluciones de la primera EDO son los múltiplos de $\exp t $ y definir una gavilla de $\mathbb R$ -módulos. Las soluciones de la segunda EDO son cero y $\frac{1}{\lambda - t}$ con $ \lambda \in \mathbb R$ . Definen una gavilla de conjuntos, pero no una gavilla de $\mathbb R$ -módulos.

Para obtener ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales con gavillas no isomorfas, hay que tener un grupo fundamental no trivial en la variable temporal de la ecuación diferencial. Por lo tanto, es natural considerar las ecuaciones diferenciales complejas sobre $\mathbb C^{\ast}$ .

Las ecuaciones $y'(z) = \frac{ \lambda y(z)}{z}$ parametrizado por $\lambda \in \mathbb C$ tienen gavillas de soluciones no isomorfas. Más precisamente,

• si $\lambda \in \mathbb Z$ entonces la gavilla solución es la libre $\mathbb C$ -de rango uno (las soluciones de la EDO son múltiplos complejos de $z^{ \lambda }$ );
• si $\lambda \in \mathbb Q - \mathbb Z $ entonces la gavilla solución no tiene secciones globales pero sí alguna potencia tensorial de la misma;
• si $\lambda \in \mathbb C - \mathbb Q$ entonces la gavilla solución no tiene secciones globales ni ninguna de sus potencias las tiene.

Answer 3

Ser una solución de una ecuación diferencial es una condición local, por lo que las soluciones de una ecuación diferencial son naturalmente una gavilla.

Answer 4

Una forma es a través de $D$ -módulos, láminas perversas y la correspondencia Riemann-Hilbert. Una buena referencia es: "D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory", de Hotta, Takeuchi & Tanisaki.

Answer 5

Paquetes de chorro.