Extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ dividiendo.

Question

En la ampliación $\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ deben ser ideales primos principales de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ¿se divide necesariamente en 2? ¿Los ideales primos no principales no deben dividirse?

Reformulado, ¿un ideal primo no nulo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ dividido completamente en $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ si y sólo si es un ideal principal?

Busco un argumento más elemental que ojalá no invoque la teoría de campos de clases...

Answer 1

Sí, es cierto. Es una consecuencia de teoría de campos de clases . Efectivamente, $H=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)$ es el Campo de clase Hilbert de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ . Así, por la teoría de campos de clases, un primo de $K$ es principal si y sólo si se divide completamente en $H/K$ .

En términos más generales, el campo de clase de Hilbert $H$ de un campo numérico $K$ goza de la siguiente propiedad:

• Todo ideal primo $\wp$ de $\mathcal{O}_K$ se descompone en el producto de $h_K/f$ ideales primos en $\mathcal{O}_H$ donde $f$ es el orden de $[\wp]$ en el grupo de clase ideal de $\mathcal{O}_K$ y $h_K$ es el número de clase de $K$ .

En el caso de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ tenemos $h_k=2$ y $H/K$ es cuadrática. Si $\wp$ es principal, entonces $f=1$ y, por lo tanto, hay $2/1=2$ primos de $H$ sobre $\wp$ . Desde $H/K$ es cuadrática, es decir $\wp$ está completamente dividido. Por el contrario, si $\wp$ no es principal, entonces $f=2$ por lo que hay $2/2=1$ primos de $H$ sobre $\wp$ es decir, $\wp$ es inerte.

Answer 2

Se puede dar una prueba un tanto ad hoc porque $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)\subset \mathbb{Q}(\zeta_{20})$ . El comportamiento de división depende de las congruencias mod $20$ y entonces se puede relacionar la principalidad con las congruencias también mediante ecuaciones normativas, y luego argumentar que (milagrosamente) los primos principales y los primos partidos dan exactamente las mismas congruencias.

Escriba a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ y $L=K(i)$ . Entonces $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ y tenemos primos únicos ramificados primo $\mathfrak{p}_2=(2,1+\sqrt{-5})$ y $\mathfrak{p}_5=(\sqrt{-5})$ en $2$ y $5$ respectivamente. Les dejo a ustedes la tarea de verificar que la extensión $L/K$ es unramificado, y que para cualquier primo $\mathfrak{p}$ de $K$ sobre el primo racional $p$ de $\mathbb{Q}$ tenemos el siguiente comportamiento de división:

• Para $p=2$ tenemos que $\mathfrak{p}$ es inerte en $L$ y $p$ se ramifica en $K$ .
• Para $p=5$ tenemos que $\mathfrak{p}$ se divide en $L$ y $p$ se ramifica en $K$ .
• Para $p\equiv 1,9\bmod 20$ tenemos que $\mathfrak{p}$ se divide en $L$ y $p$ se divide en $K$ .
• Para $p\equiv 3,7\bmod 20$ tenemos que $\mathfrak{p}$ es inerte en $L$ y $p$ se divide en $K$ .
• Para $p\equiv 11,13,17,19\bmod 20$ tenemos que $\mathfrak{p}$ se divide en $L$ y $p$ es inerte en $K$ .

Se pueden verificar estas afirmaciones calculando todos los campos de descomposición de los primos $p$ en $\mathbb{Q}(\zeta_{20})$ . Una observación útil: un primo racional $p$ no puede ser inerte en $L$ pues entonces se tendría un grupo de descomposición cíclico de orden $4$ dentro del grupo de Galois no cíclico de $L/\mathbb{Q}$ .

Con esto sé afirmar que $\mathfrak{p}$ se divide en $L$ si y sólo si es principal.

En $p=2$ tenemos $\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_2$ que no es principal. También es inerte en $L$ por lo que la afirmación es válida para $p=2$ . Del mismo modo, la afirmación es válida para $p=5$ como $\mathfrak{p}_5$ es principal y se divide en $L$ .

Ahora bien $p$ es inerte en $K$ tenemos que $\mathfrak{p}=(p)$ es claramente principal, y también se divide, por lo que la afirmación se mantiene en este caso. Por lo tanto, para el resto del argumento podemos suponer que $p$ se divide en $K$ de modo que $\mathfrak{p}$ tiene norma $p$ .

Supongamos que $\mathfrak{p}$ es principal, digamos $\mathfrak{p}=(a)$ . Entonces existe $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que

$$ p=N(\mathfrak{p})=N_{K/\mathbb{Q}}(a)=x^2+5y^2. $$

Reducir este mod $4$ vemos que $p\equiv 1\bmod 4$ por lo que comparando con el comportamiento de división vemos que $\mathfrak{p}$ debe dividirse en $L$ .

Supongamos ahora que $\mathfrak{p}$ no es principal. Entonces usando eso $Cl_{K}$ tiene orden $2$ y que $\mathfrak{p}_2$ es también no principal, debemos tener que el producto $\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}$ es principal, por lo que de forma similar terminamos con una ecuación de la forma

$$ 2p=N(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p})=x^2+5y^2 $$

para ciertos $x,y\in\mathbb{Z}$ . Ahora bien $p\equiv 1\bmod 4$ Esto daría como resultado $x^2+5y^2\equiv 2\bmod 8$ lo que no puede ocurrir. Así $p\equiv 3\bmod 4$ de modo que $p\equiv 3,7\bmod 20$ y vemos por el comportamiento de división que $\mathfrak{p}$ es inerte en $L$ .