¿Cualquier teoría inconsistente debe ser completa?

Question

Supongamos las siguientes definiciones:

• $U$ es el conjunto de todas las frases de una lengua

• Una teoría $T$ es completa si $\forall A \in U$ , $A \in T$ ou ${\sim} A \in T$ o ambos.

• Una teoría es coherente si como máximo una de $A \in T$ ou ${\sim} A \in T$ es cierto.

Mi pregunta es:

Si una teoría es incoherente, entonces todos los enunciados del lenguaje pueden derivarse de esa teoría, por lo que ¿significaría esto que cualquier teoría incoherente es necesariamente completa?

Ya que si $T$ es incoherente, $T \vdash U\longrightarrow (\forall A \in U$ , $A \in T$ y ${\sim} A \in T)$ .

Answer 1

Para que la pregunta sea específica, también debe especificar qué convención utiliza para las teorías:

1. Algunas personas definen una teoría como un conjunto arbitrario de frases.

2. Algunas personas definen una teoría como un conjunto deductivamente cerrado de sentencias. Es decir: si $\phi$ es demostrable a partir de una teoría $T$ entonces $\phi$ ya debe estar en $T$ según esta definición de teoría.

La elección de la definición (1) o (2) afecta a muchas otras definiciones. Según la definición (1), diríamos que una teoría es incoherente si demuestra una contradicción. Según la definición (2), diríamos que una teoría es incoherente si contiene una contradicción. No se trata de la misma definición.

La definición de "completo" es aún más complicada. Muchos autores definen las teorías completas como teorías maximalmente consistentes. En ese caso, toda teoría completa es consistente y deductivamente cerrada, y una teoría inconsistente queda simplemente excluida de ser "completa". Por ejemplo, cuando hablamos de las "compleciones" de una teoría, siempre nos referimos a las coherente terminaciones.

Por otro lado, si permitiéramos que las teorías inconsistentes se llamaran "completas" tendríamos que decidir si esto significa que para cada $\phi$ la teoría prueba $\phi$ de $\lnot \phi$ o si significa que para cada $\phi$ la teoría contiene $\phi$ ou $\lnot \phi$ .

En general, la terminología básica de la lógica de primer orden es un auténtico caos en la literatura. Hay conceptos generales, que son compartidos por todas las presentaciones. Estos incluyen los conceptos generales de teorías, completitud y consistencia. Pero las definiciones formales varían enormemente de una presentación a otra.

Una de las razones de esta variación es que la lógica de primer orden se utiliza en muchos campos diferentes: matemáticas, lógica, filosofía, informática, lingüística, etc. Estos autores tienen diferentes necesidades particulares y ajustan sus definiciones para que coincidan. Incluso dentro de la lógica matemática hay una variación entre la teoría de modelos y la teoría de la prueba sobre la definición de una teoría de primer orden. Así pues, para responder a preguntas como la anterior, hay que examinar cada texto individualmente; no hay una respuesta general.

Answer 2

Sí, las teorías incoherentes son completas. Y su argumento es correcto, ya que cada frase es demostrable a partir de una teoría inconsistente, entonces cada frase está en la teoría.

También debo señalar que su segundo punto es algo excesivo. En matemáticas "o" es siempre inclusive o, a menos que se indique explícitamente lo contrario. Esto significa que al decir " $A\in T$ ou $\lnot A\in T$ " ya incluimos el caso "o ambos".