¿Cuáles son los posibles valores propios de una transformación lineal $T$ saciar $T = T^2$

Question

Dejemos que $T$ sea una transformación lineal $T$ tal que $T\colon V \to V$ . Además, deja que $T = T^2$ . ¿Cuáles son los posibles valores propios de $T$ ?

No estoy seguro de que la respuesta sea sólo $1$ o $0$ y $1$ .

Sostiene que $T = T^2$ Por lo tanto $T(T(x)) = T(x)$ . Llamemos a $T(x) = v$ Así que $T(v) = v$ . lo que significa que $\lambda=1$ . Pero no estoy seguro de esto, mientras que he visto una solución que dice que $0$ también es posible.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $v\neq 0$ sea un vector propio de $T$ con valor propio $\lambda$ Así que $Tv=\lambda v$ . Utilizando $T=T^2$ tenemos $$ Tv = T^2 v = T(Tv) = T(\lambda v) = \lambda(Tv) = \lambda^2 v. $$ Por lo tanto, $\lambda v = \lambda^2 v$ . Desde $v\neq 0$ concluimos $\lambda = \lambda^2$ . Las únicas soluciones a esta ecuación son $0$ y $1$ .

Answer 2

Piensa en esto de la siguiente manera:

$$T^2=T\implies T(T-I)=0$$

Así, $\;T\;$ es una raíz de $\;x(x-1)\;$ y por tanto el polinomio característico de $\;T\;$ sólo puede tener $\;0\;$ o $\;1\;$ como sus raíces, y por lo tanto estos son precisamente los únicos valores propios posibles de $\;T\;$ .

Así que tenías media razón...:)

Answer 3

Otro comentario al margen: Dices que no estás seguro de si 1, o ambos 0 y 1 pueden ser valores propios.

En algunos casos, merece la pena pensar en ejemplos concretos y ver qué nos pueden decir. ¿Cuáles son algunos ejemplos de matrices? $T$ que satisfagan $T^2 = T$ ?

Bueno, la identidad es ciertamente una, y sus valores propios son todos 1.

Sin embargo, ¡otra de esas matrices es la matriz cero! También satisface trivialmente $\mathbf{0}^2 = \mathbf{0}$ . Sus valores propios son todos cero, por lo que el cero también puede ser un valor propio.

En cualquier caso, esto sólo indica que tanto 0 como 1 son posibles valores propios de dicha matriz, pero no que sean los sólo posibles valores propios. Para ello, las otras respuestas proporcionan una solución completa.