Derivadas parciales en $\mathbb{C}^n$

Question

Estoy tratando de averiguar una igualdad a partir de una prueba por Griffiths y Harris a la holomorphic teorema de la función inversa (en los Principios de la Geometría Algebraica). Que el estado:

$$\frac{\partial}{\partial \overline{z}_i}(f^{-1}(f(z))) = \sum_k\frac{\partial f_j^{-1}}{\partial z_k} \cdot \frac{\partial f_k}{\partial \overline{z}_i} + \sum_k\frac{\partial f_j^{-1}}{\partial \overline{z}_k} \cdot \frac{\partial \overline{f}_k}{\partial \overline{z}_i}$$

Estoy un poco confundida acerca de cómo este deriviation vino sobre... que se puede esperar de la regla de la cadena para tener algo en las líneas de $ \frac{\partial f_j^{-1}}{\partial f_k} \cdot \frac{\partial f_k}{\partial \overline{z}_i}$. O lo tengo todo mal?

¿Y cómo es que esta suma llegar aquí? Entiendo que la definición de

$$df = \sum_k\frac{\partial f}{\partial z_k}dz_k + \sum_k\frac{\partial f}{\partial \overline{z}_k}d\overline{z}_k $$

pero, ¿cómo se relaciona esto con derivadas parciales como el de arriba?

Gracias.

Answer 1

La regla de la cadena es %#% $ de #% esto viene esencialmente de ver $$\frac{\partial (f\circ g)}{\partial z}=\left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial z}+\left(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g\right)\frac{\partial \overline{g}}{\partial z}.$ como una función de la variables $f$ $z$ y así $\overline{z}$ ven http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives, por ejemplo.

Nota: Esto es para funciones de una variable. El caso general como que tienes es muy similar.