¿Cómo derivar la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

Question

La revisión de algunos conceptos básicos de la teoría especial de la relatividad, y me topé con este problema:

A partir de la definición de la época apropiada: $$c^2d\tau^2=c^2dt^2-dx^2$$ Yo era capaz de derivar la fórmula de la dilatación del tiempo mediante el uso de $x=vt$: $$c^2d\tau^2=c^2dt^2-v^2dt^2=c^2dt^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\rightarrow d\tau = dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=t/\gamma$$

Ahora, me gustaría mucho ser capaz de derivar la contracción de longitud fórmula en una manera similar, y sienten que esta debería ser posible. La definición de los invariantes intervalo es: $$ds^2=dx^2-c^2dt^2$$ el uso de $t=\frac{x}{v}$ he intentado: $$ds^2=dx^2-\frac{c^2}{v^2}dx^2=dx^2\left(1-\frac{c^2}{v^2}\right)\rightarrow ds=dx\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}$$

Esto es donde estoy atascado: no veo cómo esto puede ser convertido en un factor de Lorentz...

Cualquier ayuda que me va a permitir llegar al resultado deseado $ds=\gamma dx$ sería muy apreciado.

Answer 1

Supongamos que tenemos una varilla de longitud $l$ en reposo en el imprimado marco y vemos a un observador en el marco de cebado acelerando pasado:

Vamos a tomar los orígenes en ambos marcos para coincidir cuando el observador en el marco de cebado pasa el primer extremo de la varilla, por lo que Caso de que Una es $(0, 0)$ en ambos marcos.

En el imprimado marco el extremo de la varilla es de a $x = l$, y vemos que el exceso de velocidad observador pasa a $t = l/v$, por lo que el Evento B es $(l/v, l)$. El intervalo entre estos eventos es, por tanto:

$$ s^2 = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2 $$

En el marco de cebado el observador estacionario ve a la barra, de la longitud de la $l'$ venir hacia él a la velocidad de la $v$. El $x$ coordenadas de ambos eventos es cero, y la hora del Evento B es $t = l'/v$, el intervalo es:

$$ s'^2 = \frac{c^2 l'^2}{v^2} $$

Los intervalos deben ser los mismos, $s^2 = s'^2$, así:

$$ \frac{c^2 l'^2}{v^2} = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2 $$

y una rápida reorganización da:

$$ l'^2 = l^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) $$

$$ l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } = \frac{l}{\gamma} $$

Respuesta a comentario:

Para trabajar la dilatación del tiempo se utiliza un par de eventos. En el imprimado marco que tiene un reloj, marcando con período de $T$, inmóvil en el origen. Para los eventos de la primera y la segunda de las garrapatas es $(0, 0)$$(T, 0)$. El intervalo de $s^2 = c^2 T^2$.

Como de costumbre, elegir la imprimación de marco para que los orígenes de los marcos coinciden, y el primer paso es en $(0, 0)$. El segundo paso es en $t = T'$, y debido a que el reloj se mueve a la velocidad de la $v$, $x$ coordenadas de la segunda garrapata es $x = vT'$ dar $(T', vT')$. El intervalo es, por tanto,$s^2 = c^2T'^2 - v^2T'^2$.

Como antes, podemos configurar los intervalos iguales, por lo que:

$$ c^2 T^2 = c^2T'^2 - v^2 T'^2 $$

o:

$$ T'^2 = T^2 \frac{c^2}{c^2 - v^2} $$

Ahora solo hay que dividir la parte superior y la parte inferior de la RHS por $c^2$ y tomar la raíz cuadrada para obtener:

$$ T' = T \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$