Muestran que un subespacio de l2 no es completado

Question

Me gustaría saber si este ejercicio es correcto.

Que $\Bbb R^\infty=\{x:\Bbb N\rightarrow \Bbb R: \exists n \text{ such that}\quad x(k)=0 \quad \forall k\geq n\}$. Muestran que $(\Bbb R^\infty, \| \cdot\|_{l^2})$ no es completa.

Que $x\in l^2$ ser tal que el $x(k)= ({1\over 2})^k$. Que $(x_n)_n$ una secuencia de $\Bbb R^\infty$ define como: %#% $ #% si demostramos que $$x_n(k)= \begin{cases} ({1\over 2})^k, & \mbox{if } k\leq n \\ 0 & \mbox{else }\end{cases}.$ $x_n\rightarrow x$ que hemos hecho, desde $l^2$.

Así, $ \Bbb N de $x\notin \Bbb R^\infty$$$x(k)-x_n(k)= \begin{cases} 0, & \mbox{if } k\leq n \\({1\over 2})^k & \mbox{if }k\geq n+1 \end{cases}$n\in.

Ahora, $ for each $, cada $\|x-x_n\|_{l^2}^2=\sum_{k=1}^\infty|x(k)-x_n(k)|^2=\sum_{k=n+1}^\infty ({1\over 2})^{2k} $.

Así $n\in \Bbb N$ desde $\lim_{n\to \infty} \|x-x_n\|_{l^2}^2=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n+1}^\infty ({1\over 2})^{2k}=0.$ $x_n\rightarrow x$ $l^2$ no es completa.

Answer 1

La prueba es correcta. Pero con casi ningún trabajo extra puede ser un mejor resultado: considerado como un subconjunto de $\ell^2$, el % de espacio $\mathbb R^\infty$es denso. (Por lo tanto, no cierra, por lo tanto no completa en la métrica de $l^2$.)

La prueba va justo como el suyo, pero sin especificar $x$. Sólo deje que $x$ cualquier elemento de $l^2$, luego definir $$x_n(k)= \begin{cases} x(k) & \mbox{if } k\leq n \\ 0 & \mbox{else }\end{cases}$ $ Observe que \|x-x_n\|^2 $$ = \sum_{k > n} | x (k) | ^ 2 $$ que converge a cero, siendo la cola de una serie convergente.