¿Convergente o divergente$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$?

Question

¿Alguna sugerencia? He intentado usar la prueba de D'Alembert, pero al final obtengo 1. No puedo pensar en ninguna otra serie con la que compararla. En mi libro de texto, doy la siguiente solución que no acabo de entender:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}(\frac{n}{n+1})^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\frac{1}{e} \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ y, por lo tanto, diverge.

No entiendo el significado de$\sim$ y la lógica del agujero detrás de esta respuesta. Para mí, esto no parece completamente riguroso. ¿Se utilizó de forma implícita alguna de las pruebas de convergencia / divergencia?

Answer 1

Estoy totalmente de acuerdo con usted. Este argumento no parece muy riguroso, aunque no proporcionar algún tipo de intuición. (Edit: se Nota que @sami tiene una linda interpretación rigurosa del problema)

Para proporcionar un enfoque más riguroso, tenga en cuenta que el límite de la prueba de comparación funciona muy bien aquí.

Vamos \begin{align*} a_n &= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n & b_n &= \frac{1}{n} \end{align*} Entonces $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{e} $$ (vea si usted puede probar esto!)

El límite de la prueba de comparación, a continuación, implica que tanto $\sum a_n$ $\sum b_n$ convergen o ambas divergen. De curso $\sum b_n$ es armónica de lo $\sum a_n$ diverge.

Answer 2

El símbolo$∼$ significa que ambas expresiones tienen un comportamiento similar en infinito,

Por ejemplo, considere la serie$\sum a_n$,$\sum b_n$

Dónde

$a_n=\frac{1}{n}$ y$b_n=\frac{1}{n}\frac{1}{e}$

Entonces, según la prueba de comparación de límites,

$\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=e>0}$

Como sabemos que las series armónicas divergen,$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\frac{1}{e}$ diverge.

Esto podría ser útil: http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test

Answer 3

Hay más de una forma. Considere la posibilidad de $$ a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} (\frac{n}{n+1} )^n = e^{\log \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} (\frac{n}{n+1} )^n} = e^{-\frac{1}{2}\log (n^2+1) +n \log \frac{n}{n+1}} $$ Aquí es útil el uso de la expansión de Taylor para la función logaritmo. Asintóticamente como $x \to 0, \ \log (1+x) \sim x$ y la propiedad de logaritmo: $\log a^t = t \log a$. Por lo tanto, $$ a_n = e^{-\log n} \cdot e^{-\frac{1}{2n^2}} \cdot e^{-\frac{n}{n+1}} \geq e^{-\log n } e^{-1} e^{-1} = \frac{e^{-2}}{n} =b_n $$ que, como se ha demostrado, diverge porque $b_n \sim \frac{1}{n}$, lo que se conoce como la serie Armónica.

Answer 4

Exprimir si para los últimos no creyentes. Desde$2\leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq e$ y$n\leq\sqrt{n^2+1}\leq(n+1)$,$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{e(n+1)}\leq\sum_{n=1}^{N}a_n \leq \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n},$ $ pero el LHS es mayor que:$$\frac{1}{e}\sum_{n=1}^{N}\log\left(1+\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{e}\log\frac{N+2}{2}.$ $