Maximización de la función multivariable$ M = \frac{a+1}{a^{2}+ 2a+2} + \frac{b+1}{b^{2}+ 2b+2} + \frac{c+1}{c^{2}+ 2c+2}$ sujeto a restricción

Question

Esto es por pura curiosidad. Tengo este set de una alta entrada de la escuela examen de Matemáticas en Vietnam (una escuela secundaria especial para niños superdotados, el examen se celebró hace 3 días, tal vez 4, teniendo en cuenta la zona horaria). He aquí una pregunta que me he quedado estancado con:

Con $a, b, c$ $\in \mathbb{R}^{+}$ tal que $ab + bc + ca + abc =2$, encontrar el máximo de

$ M = \frac{a+1}{a^{2}+ 2a+2} + \frac{b+1}{b^{2}+ 2b+2} + \frac{c+1}{c^{2}+ 2c+2}$

Tengo curiosidad de qué tipo(s) de técnicas de estos estudiantes de la secundaria pueden utilizar, ya que hasta donde yo recuerdo que cuando yo estaba en esa edad, cálculo y derivados no son enseñado hasta la escuela secundaria.

Answer 1

La forma funcional de $M$ sugiere el cambio de variable a $u = a+1, v = b+1, w = c + 1$.
En términos de ellos, la expresión de $M$ se simplifica a

$$M = \frac{u}{1+u^2} + \frac{v}{1+v^2} + \frac{w}{1+w^2}$$

La restricción $abc + ab + bc + ca = 2$ puede escribirse como

$$(a+1)(b+1)(c+1) - (a+b+c) - 1 = 2\quad\iff\quad u + v + w - uvw = 0$$

Desde $a,b,c > 0$, $u,v,w \in (1,\infty)$. Pick $A, B, C \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ tal que $u = \tan A$,$v = \tan B$ y $w = \tan C$. La restricción nos dicen $$\tan(a+B+C) = \frac{u+v+w - uvw}{1 - uv - vw - wu} = 0 \quad\implica\quad a+B+C = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Desde $A + B + C \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$, $k$ es igual a $1$ y $A + B + C = \pi$.

En términos de $A,B,C$, la expresión que queremos maximizar convierte en

$$M = \frac{\tan A}{1+\tan^2 A} + \frac{\tan B}{1+\tan^2 B} + \frac{\tan C}{1+\tan^2 C} = \frac12 \left[ \sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) \right]$$

Esto no es nada, pero el área del triángulo inscrito en el interior de la unidad de círculo con ángulos $2A$, $2B$ y $2C$ subtendido en el centro. Es bien conocido por triángulos semejantes, el de maximizar el área de un triángulo equilátero. Esto implica $M$ se maximiza cuando

$$A = B = C = \frac{\pi}{3} \implies a = b = c = \tan\frac{\pi}{3} - 1 = \sqrt{3} - 1$$

y el valor máximo del $M$$\displaystyle\;\frac{3}{2}\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Answer 2

Si$a=b=c=\sqrt3-1$ entonces obtenemos un valor$\frac{3\sqrt3}{4}$.

Probaremos que es un valor máximo.

De hecho, deje que$x=\frac{a+1}{\sqrt3}$,$y=\frac{b+1}{\sqrt3}$ y$z=\frac{c+1}{\sqrt3}$.

Por lo tanto, la condición da$x+y+z=3xyz$ y necesitamos probar que$$\sum_{cyc}\frac{x}{3x^2+1}\leq\frac{3}{4}$ $ o$$\sum_{cyc}\frac{x}{3x^2+\frac{3xyz}{x+y+z}}\leq\frac{3}{4}$ $ o$$\sum_{cyc}\frac{x+y+z}{3(x+y)(x+z)}\leq\frac{3}{4}$ $ o$$9(x+y)(x+z)(y+z)\geq8(x+y+z)^2$ $ y desde$$9(x+y)(x+z)(y+z)\geq8(x+y+z)(xy+xz+yz)$ $ es solo$$\sum_{cyc}z(x-y)^2\geq0,$ $ es suficiente para demostrar que$$xy+xz+yz\geq x+y+z$ $ o$$xy+xz+yz\geq(x+y+z)\sqrt{\frac{3xyz}{x+y+z}}$ $ o$$(xy+xz+yz)^2\geq3xyz(x+y+z)$ $ o$$\sum_{cyc}z^2(x-y)^2\geq0.$ $ ¡Listo!

Answer 3

Aquí Laplace multiplicadores, los derivados y los gradientes no existen. Sólo la multiplicación y la comprobación de si algo se simplifica.

En este caso, la simetría para simplificar el problema en: $$ \mathcal{M}: 3{x+1 \sobre x^2+2x+2}\\ st. x^3+3x^2=2 $$

Esto es debido a que cada término de la función es una suma de términos independientes. Aquí la simetría no es un falso amigo.

Que reduce a la búsqueda de las raíces positivas de $x^3+3x^2-2=0$. No sabemos resolver una ecuación cúbica, por lo que sólo podemos adivinar a romper el polinomio. Nuestra primera conjetura es $x=-1$. Roto: $$ (x^3+x^2+2x^2+2x-2x-2)/(x+1)=x^2+2x-2 $$

Y los otros dos son dados por, sí, sabemos cómo solucionar los que ya: $$ x=\frac 12 (-2\pm\sqrt{4+8})=-1\pm \sqrt{3} $$

Por lo tanto la única solución positiva es$x=\sqrt{3}-1=a=b=c$$M=3{\sqrt{3}\over 3+1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2+2}=3{\sqrt{3}\over 4}\sim 1.3$.

Lo que si no son iguales?. Supongamos $a=b=1,c=x$: $$ \mathcal{M}: \frac45+{x+1 \sobre x^2+2x+2}\\ st. 3x=2 $$ a continuación,$x=2/3$ $M=\frac45+{2/3+1 \over 4/9+4/3+2}=\frac45+{15 \over 34}\sim 1.2<1.3$

Sí, la simetría ayuda aquí, y la solución es un máximo.