Pruebas de convergencia: ¿por qué es necesario probar específicamente para$\epsilon$?

Question

En la mayoría de las pruebas de secuencia de convergencia en el análisis real (como aquí y aquí) con el fin de demostrar que, por ejemplo $$ a_n + b_n \to_n a+b $$ o $$ a_n b_n \to_n ab $$ al $a_n \to_n a $ $b_n \to_n b$ a menudo se toma a menudo que $|a_n -a| < \frac{\epsilon}{2}$, lo que se deduce del hecho de que (por una diferente $n$ del curso) $|a_n -a|<\epsilon$. O, para el producto de prueba de que $|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2(1+a)}$. Una vez más, para diferentes $n$. Después de algunos álgebra se muestra que la deseable cantidad, decir $a_n b_n$ está dentro de un $\epsilon$$a+b$.

Bueno, aquí está mi confusión (y pregunta): ¿por qué no probar que (en el primer caso) $$ |a_n +b_n -(a+b)| <2 \epsilon $$ y esto implicaría que, por supuesto, para algunos otros $n$ es menos de $\epsilon$. Y lo mismo con las otras pruebas. En resumen: ¿por qué, si se nos permite jugar con las discrepancias desde el límite de otras secuencias, que es absolutamente necesario mostrar que la deseada es estrictamente menor que $\epsilon$?

Answer 1

Hay dos maneras de ver esto.

Algunas personas dicen: "si el objetivo es $\epsilon$, entonces no tenemos una prueba a menos que se consiga $\epsilon$, y nada más."

Otros hacen el equivalente de demostrar que si podemos mostrar nuestra expresión es menor que $A\epsilon$ para suficientemente grande $n$ donde $A$ es una constante independiente de $n$, entonces también se puede mostrar que es menos de $\epsilon$ para suficientemente grande $n$. Este resultado puede entonces ser utilizado para evitar tener que lidiar con potencialmente problemáticas constantes.

Usted puede hacer cualquier manera, pero para la segunda manera, usted no necesita tener la prueba en el bolsillo trasero del pantalón - porque eso es lo que le permite evitar los pasos adicionales que usted necesita tomar en el primer caso.

Answer 2

Es solo estética, de verdad. Tiene razón si, por ejemplo,$|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|$ es dos veces una cantidad arbitrariamente pequeña, entonces es una cantidad arbitrariamente pequeña.

Answer 3

Es similar a la diferencia entre la salida de una solución de la onu-simplificado. Es claro que las respuestas de $5/10$ y respuestas de $1/2$ son equivalentes, pero generalmente nos escriba soluciones lo más simplificado posible.

Cuando se trata de estas pruebas, una respuesta que muestra $|a_n +b_n -(a+b)| < \frac{23486}{777}\epsilon^{239\pi}$ podría ser considerado onu-simplificado. Es generalmente una pequeña cuestión a resolver y debe hacerse, si es posible.

Si usted encuentra que $|a_n +b_n -(a+b)| < 2\epsilon_0^{2}$ que se puede decir "tome $\epsilon = 2\epsilon_0^2$" o $\epsilon_0 = \sqrt{\frac{\epsilon}{2}}$" lo cual muestra que el $|a_n +b_n -(a+b)| < \epsilon.$ debe quedar claro que la resolución de este asunto es casi trivial.

Los autores de los libros y papeles de escribir sus pruebas, de modo que esto es innecesario, simplemente porque se produce la más limpia de las pruebas y que siempre es una ventaja a la hora de escribir nada. Cualquier estudiante debe tener las habilidades para tomar sus pruebas y modificarla para que se ajuste a estos criterios.