Fórmula para curva paralela a una parábola

Question

Tengo una parábola simple en la forma$y = a + bx^2$. Me gustaría encontrar la fórmula para una curva que es paralela a esta curva por la distancia$c$. Paralelo, quiero decir que hay una distancia igual a lo largo de una línea perpendicular a la tangente a mi curva en todos los puntos.

He establecido que la curva no está en la forma$y = a + c + dx^2$, mientras que puedo hacer que esta satisfaga para$x=0$ y$x$ igual a otro número no es válido en todo el rango .

Cualquier ayuda muy apreciada.

Robar

Answer 1

Voy a usar la parametrización

$$\begin{align*}x&=2at\\y&=at^2\end{align*}$$

donde $a$ es la longitud focal (la distancia desde el vértice al foco).

Utilizando la fórmula de un paralelo de la curva de $(f(t)\quad g(t))^T$ a una distancia $c$:

$$\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}+\frac{c}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}\begin{pmatrix}g^\prime(t)\\-f^\prime(t)\end{pmatrix}$$

podemos encontrar las ecuaciones paramétricas

$$\begin{align*}x&=2at+\frac{ct}{\sqrt{1+t^2}}\\y&=at^2-\frac{c}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}$$

La correspondiente ecuación Cartesiana es bastante complicada:

$$\begin{align*}x^2 \left(-8 a^3 y+x^2 \left(a^2-10 a y-3 c^2+y^2\right)-20 a^2 c^2+32 a^2 y^2+2 a c^2 y-8 a y^3+3 c^4-2 c^2 y^2+x^4\right)&=\\(c-y) (c+y) \left(4 a(a-y)+c^2\right)^2\end{align*}$$

así que es mejor quedarse con una parametrización.

Aquí un complot de un grupo de parábola paralelos: