Función diferenciable tal que$f(x+y),f(x)f(y),f(x-y)$ es una progresión aritmética para todos$x,y$

Question

Si$f$ es una función diferenciable en$\mathbb{R}$ tal que$f(x+y),f(x)f(y),f(x-y)$ (tomado en ese orden) está en progresión aritmética para todos$x,y\in \mathbb{R}$ y$f(0)\neq0,$ entonces
$(A)f'(0)=-1\hspace{1cm}(B)f'(0)=1\hspace{1cm}(C)f'(1)-f'(-1)=0\hspace{1cm}(D)f'(1)+f'(-1)=0$

Mi prueba:
Como$f(x+y),f(x)f(y),f(x-y)$ están en AP
$2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ ......... (1)

Ponga$x=0,y=0$ en la ecuación anterior
$2f^2(0)=2(0)$
$f(0)=1$ porque $f(0)\neq0$
Diferenciar la ecuación$(1)$,
$2f(x)f'(y)\frac{dy}{dx}+2f(y)f'(x)=f'(x+y)(1+\frac{dy}{dx})+f'(x-y)(1-\frac{dy}{dx})$

Estoy atrapado aquí. Ahora no sé cómo ir más lejos. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Ponga$y=0$ para obtener$2f(0)f(x)=2f(x)$ y$x=0$ para obtener$2f(0)f(y)=f(y)+f(-y)$. Así obtenemos$2f(x)=2f(0)f(x)=f(x)+f(-x)\implies f(x)=f(-x)$.

Dado que, por lo tanto,$f$ es par, tiene que ser la respuesta (D), porque: $$ f '(- 1) = \ lim_ {x \ to-1} \ frac {f (x) -f (- 1)} {x - (- 1)} = \ lim_ {x \ to1} \ frac {f (-x) -f (-1)} {- x + 1} = - \ lim_ {x \ to1} \ frac {f (x) -f (1)} {x-1} = - f '(1) $$

Answer 2

Para $x=y$, usted tiene $$f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)$$ or $$f(0)+f(2x)=2f^2(x)$$ or, $$2f^2(x)-f(2x)=1$$

La diferenciación de ambos lados con respecto a $x$, obtenemos $$4f(x)f'(x)-2f'(2x) = 0 $$

Poner a $x=0$, usted tiene $$f'(0)=0$$

Por lo que las opciones (a) y (b) son incorrectas.

Como para (c) y (d), que están tratando de comprobar si $f'(x)$ es una función par o impar.

Utilice el hecho de que $$f(2x)=2f^2(x)-1$$ and $$f(-2x)=2f^2(-x)-1$$

Ahora suponiendo que la función es par, es decir,$$f(2x)=f(-2x) \Rightarrow f^2(x)=f^2(-x) \Rightarrow f(x)=f(-x)$$ Que es, la ecuación admite que la función es par.

Pero suponiendo que la función es impar, $$f(2x)=-f(-2x)$$ $$\Rightarrow 2f^2(x)-1=1-2f^2(-x)$$ $$\Rightarrow 2[f^2(x)+f^2(-x)]=2$$ $$\Rightarrow [f^2(x)+f^2(-x)]=1 \not \Rightarrow f(x)=-f(-x)$$ es decir, la ecuación no admite que la función es impar.

Entonces, la respuesta es (d).

Answer 3

$f(x+y) ,f(x)f(y),f(x-y)$ son una progresión aritmética

Todos los que no son triviales dos veces diferenciable soluciones se $f(x) = \frac{e^{Ax} + e^{-Ax}}{2}$ $A$ real o imaginario puro.

La ecuación funcional es $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$.

Para las pequeñas $y$, dos veces diferenciable soluciones de satisfacer $$2f(x) + y^2 f''(x) + o(y^2) = 2f(x)f(y).$$ If there is any point $x$ where $f"(x)f(x) \neq 0$, that implies $2f(x) f(y)-1) = O(y^2)$ near $y=0$. It is then possible to divide by $y^2$ and the limit as $s \to 0$ existe necesariamente:

$$ f''(x) = 2f(x) \lim_{y \to 0} \frac{f(y)-1}{y^2} = f(x) f''(0)$$

de modo que $f''(x) = Cf(x)$ constante $C$ (e $f(0)=1$$f'(0)=0$).

Tomando $A^2 = C$ los rendimientos de la indicada soluciones.