Una secuencia de ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,...$ converge geométricamente en alguna norma, se reunirán geométricamente en alguna norma equivalente?

Question

¿Si una secuencia de ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,...$ converge geométricamente a un vector ${\bf u}$ % de la norma $\|\cdot\|_1$, es decir, $\|{\bf x}_i - {\bf u}\|_1 \le q\|{\bf x}_{i-1} - {\bf u}\|_1$ $q\in (0,1)$, convergerán geométricamente en cualquier norma $\|\cdot\|_2$ que es equivalente a $\|\cdot\|_1$?

Supongamos que $c_1\|\cdot\|_2 \le \|\cdot\|_1 \le c_2\|\cdot\|_2$ $0<c_1 \le c_2$. Creo que converge la ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,...$ $\bf u$ $\|\cdot\|_2$, a través de un simple $\epsilon$-arugment. Sin embargo, no puede ver la convergencia también es geométrica en $\|\cdot\|_2$. ¿Si de hecho no es, puede alguien ayudar a dar un contraejemplo? ¡Gracias!

Answer 1

Tomar $\mathbf x_n=(\tfrac 1 {2^n},0)$ % impar $n$y $\mathbf x_n=(\tfrac 1 {2^n},\tfrac 1 {2^n})$ % hasta $n$. Entonces $\mathbf x_n$ geométricamente converge a cero en $\mathbb R^2$ con la norma de #% de #% %. Pero no converge geométricamente con la norma de $\|\cdot\|_\infty$ porque $\|\cdot\|_1$ y $\mathbf x_{2n-1}$ tienen la misma norma de $\mathbf x_{2n}$, $\|\cdot\|_1$.