Para un espacio topológico $(X,\tau)$, el punto de compactification de $(X,\tau)$ es el espacio topológico $(X\cup\{\infty\},\tau')$ donde $$\tau'=\tau\,\cup\{K\cup\{\infty\}:K\subseteq X, \, X\setminus K \,\,\mbox{is compact in}\,\, (X,\tau)\}.$$
El estándar de la topología que se le da a $\mathbb{Z}$ es la topología discreta $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ (ya que este es el subespacio de la topología inducida en $\mathbb{Z}$ por la topología Euclidiana de $\mathbb{R}$). En esta topología, los subconjuntos compactos de $\mathbb{Z}$ son precisamente los subconjuntos finitos. Acerquémonos, pues, definir $(\mathbb{Z}\cup\{\infty\},\tau')$ como el punto de compactification de $(\mathbb{Z},\mathcal{P}(\mathbb{Z}))$. Entonces tenemos $$\tau'=\mathcal{P}(\mathbb{Z})\cup\{K\cup\{\infty\}:K\subseteq\mathbb{Z},\, |\mathbb{Z}\setminus K| <\infty\}.$$ It is straightforward to check that $(\mathbb{Z}\cup\{\infty\},\tau')$ es compacto y Hausdorff.
Usted también han proporcionado un bijection $\phi:\mathbb{Z} \cup \{ \infty \} \rightarrow \mathbb{Z}$ (que he cambiado el nombre de $\phi$ para evitar la confusión con el otro $f$ en la pregunta). Ahora ya tenemos un 'bonito' topología $\tau'$ $\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ (es decir, uno que es compacto y Hausdorff), por lo que nos gustaría usar esto para obtener un 'bonito' topología $\tau$$\mathbb{Z}$.
El comúnmente utilizado truco aquí es definir una topología en $\mathbb{Z}$ de tal manera como para hacer $\phi$ un mapa continuo. Formalmente, podemos tomar $\tau$ a ser el final de la topología en $\mathbb{Z}$ con respecto al $\phi$. Por lo tanto, definimos $\tau=\{U\subseteq\mathbb{Z}:\phi^{-1}(U)\in\tau'\}.$ Desde $\phi(\infty)=0$, vemos que podemos escribir explícitamente $$\tau=\mathcal{P}(\mathbb{Z}\setminus\{0\})\cup\{K\cup\{0\}:K\subseteq\mathbb{Z}\setminus\{0\},\, |\mathbb{Z}\setminus K| <\infty\}.$$
La propiedad útil de esta topología es que puede ser fácilmente comprobada (que dejo a usted) que, de hecho, la bijection $\phi$ es ahora un homeomorphism entre el$(\mathbb{Z}\cup\{\infty\},\tau')$$(\mathbb{Z},\tau)$. Por lo tanto, $(\mathbb{Z},\tau)$ es compacto y Hausdorff. Sólo queda comprobar la continuidad de la condición. Ahora estamos listos para probar el resultado principal.
Supongamos $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ es arbitraria finito-para-una función de la satisfacción de $f(0)=0$. Queremos mostrar que $f$ es continua con respecto a la topología $\tau$. Vamos a definir una nueva función de $F:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$$F=f\circ\phi^{-1}$. Desde $\phi$ es continua y $f=F\circ\phi$, sólo queda demostrar que $F$ es un mapa continuo.
Supongamos $U\in\tau'$, hay dos casos. Supongamos primero que $\infty\notin U$. A continuación,$0\notin\phi(U)$, por lo que, desde el $f(0)=0$,$F^{-1}(U)=f^{-1}(\phi(U))\subseteq\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Por lo tanto, en este caso, $F^{-1}(U)\in\tau$.
Ahora supongamos que tenemos el segundo caso $\infty\in U$, de donde $U=(\mathbb{Z}\cup\{\infty\})\setminus V$ para un conjunto finito $V\subset\mathbb{Z}$. Desde $\phi$ es bijective, se deduce que el $\phi(V)$ es un subconjunto finito de $\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$. Como $f$ es finito-a-uno y $f(0)=0$, se deduce que el $F^{-1}(V)=f^{-1}(\phi(V))$ es un subconjunto finito de $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Por lo tanto, $F^{-1}(U)=\mathbb{Z}\setminus F^{-1}(V)\in\tau$.
Por lo tanto, $F$ es continua y esto completa la prueba.
