Intuición para paquetes de la fibra no trivial en términos de las secciones

Question

Entiendo que la noción de un trivial haz de fibras con fibra de $F$ sobre una base colector $B$, tal como se define en términos de la proyección cartográfica $\pi$: para cualquier región suficientemente pequeña $U \subset B$, la preimagen $\pi^{-1}(U)$ es homeomórficos para el espacio del producto $U \times F$, pero la preimagen $\pi^{-1}(B)$ (el total de espacio) no es homeomórficos a $B \times F$. La banda de Mobius es un estándar de ejemplo para visual de la intuición.

Sin embargo, los físicos como yo pienso a menudo en un haz de fibras en términos de sus secciones en lugar de su mapa de proyección. Hay un equivalente a la definición de un trivial paquete formulado en términos de sus secciones $\sigma$ (el derecho-los inversos de las $\pi$)? I. e. una declaración de la forma "un haz de fibras es trivial iff (algunos la sección $\sigma$ ha)/(todas las secciones $\sigma$ tienen de propiedad)$X$"? Si no, hay alguna intuición por lo que las secciones de un trivial paquete "parece"? Sé que en un principio paquete es trivial iff no admitir cualquier sección global, pero tengo curiosidad por cómo funcionan las cosas para el general de los haces de fibras.

Answer 1

Hay un equivalente a la definición de un trivial paquete formulado en términos de sus secciones σσ (el derecho-los inversos de ππ)?

Sí. Ver a continuación.

I. e. una declaración de la forma "un haz de fibras es trivial iff (algunos la sección σσ ha)/(todas las secciones σσ tienen) propiedad XX"?

No. Consulte a continuación para ver por qué me técnicamente dijo que no.

Si no, hay alguna intuición por lo que las secciones de un trivial paquete "parece"?

Secciones individuales pueden "parecer" nada.

Respuesta: Cada una de las $\pi^{-1}(U)$ viene con una (no la única) homeomorphism: $t_i: \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F$. Así, en cada intersección, obtenemos la transición de las funciones de $f_{ij}: U_{ij} \to Aut(F)$, los cuales satisfacen la cocycle condición: $$f_{ij}f_{jk} = f_{ik}.$$

Para que su paquete es trivial iff sus opciones de transición de las funciones de $t_i$ podría ser alterado de manera que $f_{ij} =1$ todos los ${ij}$. En lenguaje elaborado, a su paquete de la trivialidad se mide por la Cech Cohomology generados por estos $f_{ij}$.

¿Qué tiene que ver esto con las secciones? Bueno secciones podrían ser utilizados para crear como banalizaciones. A fin de comenzar con las secciones, $s_i$, construir asociados como banalizaciones, $t_i$, a continuación, construir asociada a la transición de las funciones de $f_{ij}$, y, a continuación, el paquete no es trivial si se podría haber utilizado diferentes secciones $s'_i$, de modo que todos los de la transición de las funciones de la identidad.

Así que la razón por la que me dijo que no a la segunda pregunta, me respondió, es que no es una cuestión de hablar acerca de algunos de la sección de tener una propiedad o todas las secciones tienen una propiedad. Pero es más sobre la colección de secciones de tener una propiedad.

Answer 2

Esta respuesta se analiza suave haces de fibras.

En cierto modo, cada haz de fibras con estructura de grupo $G$ puede ser representado por un director / a $G$-bundle, donde $G$ puede ser cualquier Mentira grupo. Por lo tanto, si usted entiende director haces, todo lo que necesitas hacer es explicar el por encima de reclamación.

Deje $\pi:E\to B$ ser un haz de fibras con fibra de $F$ y la estructura de grupo $G$. Esto significa que $G$ es una Mentira subgrupo de $\mathrm{diff}(F)$, el diffeomorphism grupo de $F$, y los que tenemos los siguientes datos:

$1)$ Abierto que cubre de $B$ por los conjuntos de $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$.

$2)$ Una banalización $\psi_\alpha:U_\alpha\times F\to \pi^{-1}(U_\alpha)$ por cada $\alpha\in I$, de tal manera que todos los inducida mapas de transición $\varphi_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to \mathrm{diff}(F)$ admite valores en $G$.

El principal asociado $G$-bundle, $P\to B$, puede ser descrito, como un conjunto, como sigue. Para un punto de $b\in B$, la fibra $P_b$ se compone de todos los diffeomorphisms $F\to E_b$ que está de acuerdo con el paquete de datos. Es decir, vamos a $\alpha\in I$ ser tal que $b\in U_\alpha$. Por lo $\psi_\alpha|_b$ es un diffeomorphism $F\to E_b$, y la fibra de $P$ $b$ está definido por $$ P_b:=\psi_\alpha|_b\cdot G. $$ Esto está bien definido, como todos los mapas de transición están en $G$.

Ahora describe una suave estructura de $P$. Por construcción, el conjunto de $P|_{U_\alpha}$ es isomorfo al conjunto $U_\alpha\times G$ (un isomorfismo es dado por la trivialización $\psi_\alpha$). Equipar $P$ con la suave estructura que convierte a todos aquellos isomorphisms en diffeomorphisms. Por construcción, no es un "natural" $G$ acción en $P$, lo que convierte a $P$ en una entidad de $G$-bundle.

Pensemos en el vector de paquetes como ejemplos de la anterior construcción. Un verdadero vector paquete de $E\to B$ de la fila $k$ es un haz de fibras con fibra de $\mathbb{R}^k$ y la estructura de grupo $GL_k(\mathbb{R})$. El procedimiento anterior conduce en este caso a la estructura de paquete de $E$. Si $E$ está equipada con las métricas sobre las fibras, se convierte en un haz de fibras con estructura de grupo $O(k)$. A continuación, el procedimiento conduce a la ortonormales marco de paquete. Del mismo modo, ninguna estructura adicional en $E$, que puede ser descrito en términos de la estructura de grupo conduce a una pequeña subbundle del marco de paquete.

Edit: Esta es una continuación del anterior párrafo. Digamos que tenemos un vector paquete de $E\to B$, y queremos determinar si este es un trivial paquete o no. Como se explicó anteriormente, el vector paquete de $E$ es codificada por su marco bundle $P$, que es una de las principales $GL_k(\mathbb{R})$-bundle. Sabemos que $P$ es trivial si y sólo si se admite una sección global. Esto significa que $E$ es trivial si y sólo si se admite un marco global. En forma similar, uno puede entender cualquier haz de fibras mediante el examen de su principal asociado paquete.