Probar la siguiente secuencia siempre resultados en un cuadrado perfecto.

Question

Hay una declaración del problema:

Para cada una de las $m \in \mathbb{N}$, se construye una secuencia de $m_0$, $m_1$, $m_2,\dots$ denotado $S_m$, de forma recursiva a través de $m_0=m$ y

$$m_{i+1} = m_i + \left\lfloor \sqrt{m_i} \right\rfloor$$

para todos los $i \ge 0$. Aquí, $\lfloor x \rfloor$ es el piso de $x$, el mayor entero menor o igual a $x$. Por lo tanto, tenemos $\left\lfloor \sqrt{10} \right\rfloor=3$$\left\lfloor \sqrt{29} \right\rfloor=5$.

Demostrar que para cada entero positivo $m$, la secuencia de $S_m$ contiene el cuadrado de un número entero.

Estoy bastante seguro de que esto puede ser comprobado con la inducción. Simplemente no estoy muy seguro de lo que introducirá. El examen de ejemplos se muestra que $S_m$ siempre resulta en un cuadrado perfecto, finalmente, aunque no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 1

Supongamos que nuestro $m$ es menos de lo que algunos cuadrado, digamos, $k^2$. A continuación, vamos a ir hasta que salimos de $k^2$. (Si nos toca, que nos acaba de dejar a la derecha). Vamos a denotar el primer término por encima de $k^2$$k^2+l$. Desde el último paso era menos de $k$, se deduce que el $l<k$. Se puede decir que se perdió esta plaza por $l$.

Bien. Vamos a hacer dos pasos más. En la primera se nos a $k^2+k+l$, que todavía es menor que el cuadrado siguiente, por lo que el $\lfloor \sqrt{m_i} \rfloor$ aún $k$. La segunda nos permitiera $k^2+2k+l = (k+1)^2+l-1$.

Ver eso? Nos perdimos la siguiente plaza por $l-1$. Bueno, vamos a hacer dos pasos más y se pierda el siguiente recuadro, después de que por $l-2$, y así sucesivamente, hasta que llegamos a alguna plaza en el clavo. Eso sería todo.

P. e.d.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.

Mirando el número de pasos necesarios para llegar a una plaza, emerge un patrón claro, tal vez se puede demostrar que sigue para siempre. La última columna muestra el número de pasos necesarios y el patrón es muy fácil de reconocer.

? for(k=1,100,m=k;t=0;while(issquare(m)==0,t=t+1;m=m+floor(sqrt(m)));print(k,"
",m,"  ",t))
1  1  0
2  4  2
3  4  1
4  4  0
5  9  2
6  16  4
7  9  1
8  16  3
9  9  0
10  16  2
11  25  4
12  36  6
13  16  1
14  25  3
15  36  5
16  16  0
17  25  2
18  36  4
19  49  6
20  64  8
21  25  1
22  36  3
23  49  5
24  64  7
25  25  0
26  36  2
27  49  4
28  64  6
29  81  8
30  100  10
31  36  1
32  49  3
33  64  5
34  81  7
35  100  9
36  36  0
37  49  2
38  64  4
39  81  6
40  100  8
41  121  10
42  144  12
43  49  1
44  64  3
45  81  5
46  100  7
47  121  9
48  144  11
49  49  0
50  64  2