¿Cuál es la flecha de identidad en esta categoría?

Question

Esto está tomado de An Introduction to Category Theory de Harold Simmons (Ejemplo 1.3.1) (ligeramente modificado por razones de formato).

Los objetos son los conjuntos finitos. Una flecha $f$ con origen A y destino B es una función $$f : A\times B \to \mathbb{R}$$ (sin condiciones impuestas). Para cada par de flechas $f,g$ con $\text{source}(f) = A$ , $\text{target}(f) = B$ , $\text{source}(g) = B$ , $\text{target}(g) = C$ definimos $g \circ f$ para ser una función $$g \circ f : A \times C \to \mathbb{R}$$ con $$(g\circ f)(a,c) = \sum\{f(a,y)g(y,c) \mid y \in B\}.$$

Entiendo cómo comprobar que para tres flechas la composición es asociativa, pero no estoy seguro de cómo se definiría, por ejemplo, $\text{Id}_A, \text{Id}_B$ tal que $$\text{Id}_B \circ f = f = f \circ \text{Id}_A,$$

Sé que serían funciones de $A\times A \to \mathbb R$ y $B\times B \to \mathbb R$ pero al escribir la composición no estoy seguro de cómo se obtiene el original $f$ .

Answer 1

Usted está buscando el Delta de Kronecker $\delta(x,y)$ que es $1$ si $x =y $ y $0$ de lo contrario.

Answer 2

Escribir la relación que la identidad $I_A$ tendría que satisfacer por un lado : $$f(a,a') = (f \circ I_A)(a,a') = \sum_{a'' \in A} f(a,a'')I_A(a'',a'),$$ por lo que un candidato natural sería $I_A(a'',a') = 1$ si $a'' = a'$ y $0$ de lo contrario. (Esto se conoce como la función delta de Kronecker).

Answer 3

$\newcommand{\id}{\mathsf{id}}$ Te gustaría una función $f: A\times A \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para cualquier otra función $g: A\times B \rightarrow \mathbb{R}$ , usted tiene

$$\begin{eqnarray*} f \circ g &= g & \qquad A\times B\rightarrow \mathbb{R}\\ (f \circ g)(a,b) &= g(a,b) &\qquad \forall \,(a,b) \in A\times B\\ \sum_{y \in A} f(a, y)\cdot g(y, b) &= g(a,b) & \\ \end{eqnarray*}$$

Podemos definir $f$ de tal manera que la mayoría de los términos de la suma desaparezcan. En particular, si establecemos $f(a,y) \equiv 0$ a menos que $y=a$ entonces la suma se reduce a un solo término:

$$f(a,a)\cdot g(a,b) = g(a,b)$$

Entonces, si definimos $f(a,a) = 1$ obtenemos el resultado deseado: $g(a,b) = g(a,b)$ Así que $f\circ g = g$ en general.

La definición a la que hemos llegado es:

$$f(a,y) \equiv \begin{cases}0 & \text{if }a \neq y\\1 & \text{if }a=y\end{cases}$$

que puedes demostrar que también es una identidad derecha: $h\circ f = h$ .