Ejemplos de propiedades que se mantienen en casi todas partes, pero tal que los ejemplos explícitos no son conocidos

Question

En teoría de la medida se hace rigurosa el concepto de algo que "en casi todo" o "casi seguramente", es decir, el conjunto en el que la propiedad de falla tiene medida cero.

Creo que es muy interesante que hay algunas propiedades que se mantienen en casi seguramente por lo que es muy difícil construir un ejemplo, un ejemplo que requiere el axioma de elección, o para las que no existen ejemplos conocidos.

Yo estaba buscando para armar una lista de algunas de estas propiedades. Más precisamente, estoy buscando (muy interesante) ejemplos de medir los espacios de $(X,\mathscr{A},\mu)$ $S\subseteq X$ tal de que no existe $N \in \mathscr{A}$$S^c \subseteq N$$\mu(N)=0$, pero que es difícil encontrar/construir un ejemplo claro de un elemento de $S$.

Un buen lugar para comenzar es de curso $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n,\lambda)$.

Aquí está uno para que podamos empezar:

Teorema. Tome $X=(0,1]$ con medida de Lebesgue. Escrito $\frac{p_n}{q_n}$ $n$th continuó fracción aproximada de $x\in(0,1]$ en la reducción de términos, hemos $$\lim_{n \to \infty} \frac{\log q_n}{n} = \frac{\pi^2}{12 \log 2}$$ casi seguramente. Nota: El resultado de la falla para todos los racionales.

Answer 1

El conjunto de los números de lo normal en base $b$ tiene plena medida de Lebesgue, para cada entero $b\geqslant2$. Por lo tanto el conjunto de los números simultáneamente normal en cada base tiene plena medida de Lebesgue. Ejemplos de números normal en una determinada base $b$ son fáciles de exhibición, a la Champernowne o a la Copeland-Erdős.

Pero no hay ningún número es conocido por ser normal en dos bases diferentes de forma simultánea (por ejemplo, en base a$b=2$) y en base a $b=10$).

Answer 2

Uno de mis ejemplos favoritos es el número más teórico: Artin la conjetura

Una forma débil de la misma, parafraseado de Wikipidia, es la siguiente. Consideremos el conjunto a $\mathbb{Z}^\square$, que consta de todos los números enteros , excepto plazas y $-1$.

Elija cualquier número entero $a\in\mathbb{Z}^\square$ y deje $S(a)$ denotar la colección de todos los números primos para que $a$ genera el mulitplicative grupo de $\mathbb{Z}/p$ ($0$ eliminado). A continuación, $S(a)$ es infinito.

Heath-Brown mostró que Artin la conjetura es verdadera, excepto, posiblemente, en la mayoría de los 2 contraejemplos. Pero su prueba no es constructivo, y no hay ejemplos conocidos de una $a$ que $S(a)$ es infinito.

En otras palabras, Artin la conjetura, tiene casi todas partes en $\mathbb{Z}^\square$ (y, posiblemente, en todas partes), pero no sabemos de un solo punto en $\mathbb{Z}^\square$ para las que es titular.

Answer 3

Casi todos los números reales son undefineable. Pero, por definición, no podemos exponer un ejemplo.

(Un poco) más precisamente: Fijar un conjunto de símbolos $\Sigma$. El conjunto de secuencias de longitud finita de símbolos de $\Sigma$ es contable, por lo tanto el conjunto de secuencias de longitud finita que definen un único número real es contable. Por lo tanto, hay sólo countably muchos de esos números reales, por lo que el conjunto de defineable números reales tiene una medida de $0$.

Answer 4

Casi todas las funciones continuas son diferenciable de la clásica medida de Wiener (ver Wikipedia por ejemplo), pero no es fácil construir un contraejemplo. El conjunto de la nada, funciones diferenciables es también comeager (para obtener más topología orientado punto de vista).

Answer 5

El artículo de la Wikipedia sobre trascendental números de las listas de $15$ clases diferentes. Un ejemplo de una 'clase' de trascendental números son todos los números de la forma $\ln(a)$ donde $a$ es una expresión algebraica número diferente de$0$$1$. La moral es trascendental que los números son muy difíciles de escribir.

A continuación, de nuevo, escoger al azar un número real, y va a ser trascendental.