Soluciones a la ecuación diofántica del $x^3+y^3+z^3+w^3=1$

Question

¿Lo que se conoce sobre el % de soluciones $(x,y,z,w)\in \mathbb{Z}^4$de la ecuación de diophantine $$x^3+y^3+z^3+w^3=1 puede usted sugerirme un libro o un documento de tratar este problema?

Answer 1

Teorema.-La ecuación de $x^3+y^3+z^3+w^3=n$ tiene una infinidad de entero soluciones si no existe una solución $(a,b,c,d)$ tal que $$-(a+b)(c+d)\gt 0$$ is not a perfect square, and $un\ne b$, or $c\ne d$.

(Ver Diophantine ecuaciones, L. J. Mordell. Academic Press, p. 58).

Desde $\mathbb F_7^3=\{0,\pm1\}$ necesariamente una de las incógnitas es un múltiplo de a $7$ porque si no tendríamos $$(\pm1)+(\pm1)+(\pm1)+(\pm1)\equiv 1\pmod7 , que es imposible.

Tratando de encontrar una solución particular puedo averiguar $(x,y,z,w)=(14,\space 30,-23,-26)$ que satisface las condiciones del teorema anterior. Por lo tanto, hay infinitamente muchas soluciones que están relacionados, según el citado libro, a una ecuación de Pell (que como es sabido tiene una infinidad de entero de soluciones).

Answer 2

En general es evidente que para tal ecuaciones hay infinitamente muchas soluciones. Por ejemplo $$(n,-n,1,0),\; n\in \mathbb{Z}$$ y permutaciones. Otro, menos evidente, la posibilidad de considerar a la familia infinita de soluciones $$(9n^4,3n-9n^4,1-9n^3,0)\; n\in \mathbb{Z}$$ Sería interesante saber si todas las soluciones están contenidos en un número finito de curvas o superficies. Para un problema similar: $$x^3+y^3+z^3=1$$ hay una buena discusión en el papel de D. H. Lehmer "En la ecuación de diophantine $x^3+y^3+z^3=1$". Estoy buscando un análogo de papel en el cual se considera el caso de las cuatro variables.

Answer 3

Esto se puede solucionar de piezas:

1. $a+b+c+d=1$
2. $(x)\mapsto x^3$ (usado 4 veces)
3. $\mathbf{Z}^4$ entero de celosía

Para resolver el problema, necesitamos inversa de la imagen. El 1er paso es solo una barra de longitud 1 dividido en 4 partes arbitrarias lugares(en $\mathbf{R}$). en el 2º paso, y la inversa de a $x^3$ es simplemente la raíz cúbica $\sqrt[3]{x}$. 3er paso el cubo de la raíz de valores necesita para golpear la rejilla de puntos en el entero de celosía. Así que para obtener la solución, necesitamos entender cómo la raíz cúbica se comporta. Hay una ruta de acceso $$1 \mapsto (a+b+c+d) \mapsto (a,b,c,d) \mapsto (\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c},\sqrt[3]{d}) \mapsto P$$ $$(k_1Z_1+k_2Z_2+k_3Z_3+k_4Z_4) \mapsto P$$ , where the first two $\mapsto$ generates infinite tuples satisfying (1), and the last $\mapsto$ filters them away, with $a,b,c,d \in R$ and $k_1,k_2,k_3,k_4 \Z$. There's a pullback $R^4 \times_P Z^4$.