El plano de la pintura y la búsqueda de puntos una unidad aparte

Question

Un viejo (más fácil) concurso problema se lee como sigue:

Cada punto en un plano se pinta uno de los dos colores. Probar que existen dos puntos de exactamente una unidad aparte de que son del mismo color.

Esta prueba puede ser fácilmente escrita mediante la construcción de un triángulo equilátero de lado de longitud $1$ unidad y afirmar que es imposible para los colores de los tres vértices a ser pares desiguales.

Sin embargo, tenía curiosidad sobre el complicado problema

Cada punto en un plano se pinta en uno de tres colores. ¿Existen dos puntos exactamente una unidad aparte de que son del mismo color?

...ahora, si esto sucedió en $3$-espacio, yo podría construir un tetraedro... pero no puedo hacer esto en $2$-espacio. Esto no funciona con tres colores, o es la prueba más complicada? Si no funciona, ¿cómo puedo construir un contraejemplo?

Answer 1

Este tema es el bien conocido problema abierto llamado la Hadwiger-Nelson Problema. El problema pide el exacto mínimo número de colores que podemos colorear el plano, de modo que no hay dos puntos de distancia uno del mismo color.

Se ha observado que no podemos hacer con sólo 2 colores, y le preguntó, podemos hacerlo con los 3 colores? La respuesta a eso no es así: en la página de la Wikipedia, podemos ver que esto es demostrado con la Mosser Husillo. Es una colección de 7 puntos en el plano, con 11 bordes de longitud 1 entre ellos, de tal manera que estos puntos no puede ser coloreado con sólo 3 colores.

Por lo tanto, se sabe que 2 o 3 colores imposibles. No se sabe, sin embargo, si se puede hacer con 4 colores. Se sabe que se puede hacer en 7 colores, por lo que el número mínimo de colores es 4, 5, 6, o 7 -- pero no sabemos que!

De hecho, se espera que el exacto mínimo depende de la tristemente célebre Axioma de Elección.

Answer 2

Podemos demostrar esto mediante la búsqueda de un más complicado conjunto de puntos que no puede ser coloreado. Un ejemplo de ello es conocida como la Moser husillo:

(Las líneas de puntos de la marca, que son una unidad aparte.)

Supongamos que tratamos de color de estos siete puntos con tres colores. Color el punto de $4$ en la parte superior del diagrama de uno de ellos - por ejemplo, el rojo. A continuación, $3$ $6$ tienen que ser diferentes, tanto de $4$ y el uno del otro. Si nos pinten de azul y verde, a continuación, $2$ no puede ser azul o verde, por lo $2$ tiene que ser de color rojo de nuevo: lo mismo que $4$.

Del mismo modo, podemos mostrar que $1$ tiene que ser del mismo color que $4$. Pero $1$ $2$ también son exactamente una unidad aparte, por lo que deben ser de diferentes colores! Por lo tanto, no podemos color de estos siete puntos (y, definitivamente, no puede el color de $\mathbb R^2$) con tres colores, sin dar dos puntos de una unidad aparte del mismo color.