Puede un multi-número perfecto de ser un cuadrado perfecto?

Question

Es bastante fácil demostrar que un número perfecto $\Gamma$ no puede ser escrita en la forma $\Gamma=n^2$ para valores enteros de a $n$. Sin embargo, esta propiedad es cierto para la multi-perfecto números---es decir, enteros $R$ tal que $\sigma(R)=kR,$$k>2$? Esta pregunta es por pura curiosidad, ya que no puedo encontrar una respuesta en línea.

ACTUALIZACIÓN:

Ahora sé que incluso $k$ y/o un $k$-número perfecto de la $R$ la respuesta es no, como se desprende de la contradicción, asumiendo $R=n^2$ y, a continuación, informática $$\sigma(R)=\prod_{i=1}^{l}\sigma(p_i^{2a_i}), $$ where $n=\prod_{i=1}^lp_i^{a_i}$ (here all $p_i$ are distinct primes and all $a_i\geq1$).

Dado este resultado, mi pregunta ahora es si el mismo es cierto para los impares $k$ y, en el supuesto de que existan, una extraña $k$-número perfecto de la $Q$. Es decir, si ambos $k$ $Q$ son impares en $\sigma(Q)=kQ,$ es allí una manera de mostrar que $Q$ no puede ser un cuadrado perfecto? Creo que esto podría ser hecho teniendo en cuenta el número de divisores de a $Q=\prod_{i=1}^rp_i^{a_i}$---dada por $$d(Q)=\prod_{i=1}^r(a_i+1)$$ and showing that at least one $a_i\equiv1\pmod2,$ pero no he encontrado ningún resultado similar a este en línea.

Answer 1

He encontrado referencias a una prueba de que cualquier extraño triperfect es un cuadrado.

Ver aquí y aquí. Que ambas hacen referencia a la siguiente alemán de papel:

H.-J. Kanold, "Über mehrfach vollkommene Zahlen. II," J. Reine Angew. Math., v. 197, 1957, pp 82-96. MR 18, 873.

Estoy en el proceso de la traducción y la extracción de la porción relevante y va a editar en breve.

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Actualización:

De la p. 88-89, he aquí lo que he extraído:

Lema 1. Deje $\displaystyle n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ $(s-1)$veces número perfecto y también le $sn \equiv 1 \pmod 2$. A continuación,$n > 10^{20}$.

Prueba: partimos de la relación

$$sn = s \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} = \prod_{i=1}^k \sigma\bigl(p_i^{\alpha_i}\bigr).$$

A partir de esto, podemos ver que

$$\alpha_i \equiv 0 \pmod 2 \text{ for } i = 1, \ldots, k$$

debe de ser verdad.

[Resto de la prueba excluida como esto es todo lo que necesitamos.]

Esto es lo que queremos desde $sn \equiv 1 \pmod 2$ $n$ es impar (desde $sn$ es impar implica tanto $s$ $n$ son impares) y $\alpha_i \equiv 0 \pmod 2$ significa que $n$ es un cuadrado perfecto (ya que cada fuente primaria de energía es incluso).

Para explicar esto un poco más, supongo que algunos $\alpha_j$ es impar y el uso de la siguiente fórmula (referencia):

$$\sigma\bigl(p_j^{\alpha_j}\bigr) = 1 + p_j + p_j^2 + \cdots + p_j^{\alpha_j}.$$

Desde $n$ es impar, sabemos $p_j$ debe ser impar y, por tanto, ningún poder de $p_j$ es también impar. Así pues, tenemos un número impar de números enteros impares, más el resto de $1$. Por lo tanto la suma es par, lo que implica $sn$ es incluso. Esta es una contradicción. Por lo tanto, todas las $\alpha_i$ debe ser uniforme y por lo tanto $n$ es un cuadrado perfecto.

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Edit: (Aclaración de $(s-1)$veces número perfecto de la notación)

Este es el primer par de frases a partir de la ponencia:

Wir schließen uns en dieser Arbeit der Bezeichnungsweise einer früheren un Danach heißt eine naturliche Zahl $\displaystyle n=\prod_{x=1}^k p_x^{\alpha_x}$ eine $(s-1)$-fach vollkommene Zahl, wenn sie der Bedingung $\sigma(n) = s \cdot n$ genügt. Die $p_x$ bedeuten Primzahlen, $\sigma(n)$ bezeichnet morir Summe aller positiven Teiler von $n$.

He traducido este como:

Estamos de acuerdo en este trabajo con la anterior notación utilizada antes llamando a un número natural $\displaystyle n=\prod_{x=1}^k p_x^{\alpha_x}$ $(s-1)$veces número perfecto si cumple la condición $\sigma(n) = s \cdot n$. El $p_x$ el valor de los números primos y $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$.

Esto significa que a lo que se refieren como "$(s-1)$veces número perfecto" es lo que podríamos llamar un "$s$-número perfecto". Esta comprensión también está de acuerdo con la prueba.

Answer 2

Un papel por Chen y Luo (2012) publicado en el Boletín de la Australiana Sociedad Matemática parece contener la mayoría de los detalles que necesitas. Preprint está disponible en arXiv.

En particular, Chen y Luo del teorema sobre explícita de la estructura para el extraño $k$-perfecto números de $n$ (para cualquier $k \geq 2$) implica que $n$ no puede ser un cuadrado. (Al mismo tiempo, $n$, no puede ser squarefree. Con respecto a esta última consideración, no es un MO pregunta aquí.)