El teorema de completitud en cálculo del predicado de

Question

Hace poco me enteré de la Integridad Teorema de Primer Orden de la Lógica en la clase.

La integridad de FOL (Gödel, 1930) Si $\Gamma\models\varphi$,$\Gamma\vdash\varphi$. De forma equivalente, cualquier conjunto consistente de fórmulas es válido.

Parece que la mayoría de las pruebas del teorema anterior se basan en la ampliación de $\Gamma$ a un máximo conjunto consistente $\Delta$. Además, en este procedimiento a menudo se basa en una Skolemisation truco que añade instancias/existencial wffs a$\Gamma$,$\exists x_1\phi_1\rightarrow(\phi_1)^{x_1}_{c_1}$.

Yo no acababa de conseguir la importancia de este Skolemisation paso. A mí me parece que ninguna parte de este Skolemisation truco se utiliza en la parte posterior de la prueba (en mi caso, haciendo el procedimiento estándar de considerar el cociente de una estructura $\mathfrak{M}$). De hecho, ¿por qué no podemos simplemente omitir este paso y definir (i) $\Phi=$ conjunto de todas las fórmulas, que es contable si nuestro lenguaje subyacente $\mathcal{L}$ es contable; (ii) $\mathscr{A}=\{\Sigma\subseteq\Phi:\Gamma\subset\Sigma~~\wedge~\Sigma\text{ is consistent}\}$, y, a continuación, utilizar el Lema de Zorn para la construcción de un conjunto maximal $\Delta\in\mathscr{A}$ directamente?

Puede alguien señalar dónde se han equivocado? Gracias de antemano!

Answer 1

Acerca de la primera parte de la pregunta, las pruebas de integridad teorema de usaully muestran que una consistente teoría es válido por la construcción de un modelo para la teoría: el término modelo para una oportuna extensión de la teoría.

Con el fin de construir el término modelo , es necesaria la Skolemisation a proporcionar para cada declaración de $\exists \phi(x)$ que tiene en la teoría un elemento $c$ del término modelo que satisfacer $\phi(c)$ (hacer la declaración de la $\exists \phi(x)$ verdadera en el modelo).

Acerca de la segunda parte, la prueba demuestra que, si $\Sigma$ es una consisten teoría, entonces, hay una constante máxima de la teoría (en el mismo language) que la contiene. Pero usted quería demostrar que su teoría es válido, por lo que deben demostrar que una máxima constante de la teoría es válido.

Espero que esto ayude.