Solución de $y'+2y=g(t)$, $y(0)=0$, para un determinado $g(t)$ tener una discontinuidad de salto

Question

Las ecuaciones diferenciales libro que estoy leyendo dice lo siguiente:

Ecuaciones diferenciales lineales a veces se producen en las que uno o ambos de las funciones $p$ $g$ tiene discontinuidades de salto. Si $t_0$ es un punto de discontinuidad, entonces es necesario resolver la ecuación por separado para$t < t_0$$t > t_0$. Después, las dos soluciones son igualadas para que $y$ es continua en a $t_0$; esto se logra mediante una adecuada elección de las constantes arbitrarias.

A continuación, se le pide que resuelva el siguiente problema de valor inicial:

$y' + 2y = g(t),\ y(0) = 0$

donde

$g(t)=\begin{cases} 1 & \text{ if $0 \leq t \leq 1$} \\ 0 & \text{ if $t > 1$}\end{cases}$

Para $0 \leq t \leq 1$:

$$y' + 2y = 1$$

El factor de integración es $e^{2t}$:

$$(ye^{2t})' = e^{2t}$$

$$ye^{2t} = \dfrac{e^{2t}}{2} + C_1$$

Puesto que el intervalo de $0 \leq t \leq 1$ contiene el punto inicial $t = 0$, la constante $C_1$ está determinado por la condición inicial $y(0) = 0$:

$0e^{0} = \dfrac{e^{0}}{2} + C_1$. Por eso, $C=-\dfrac{1}{2}$

Por lo tanto, la solución para este intervalo es de $y = \dfrac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right)$.

Para $t > 1$:

$$y' + 2y = 0$$

El factor de integración es $e^{2t}$:

$$(ye^{2t})' = 0$$

$$ye^{2t} = C_2$$

$$y = C_2e^{-2t}$$

La solución debe ser "coincidente" con el anterior en $t=1$. Así, la configuración de $t = 1$ e igualando ambas soluciones da el valor de $C_2$:

$$\dfrac{1}{2}\left(1-e^{-2}\right) = C_2e^{-2}$$

$$C_2 = \dfrac{1}{2}(e^2-1)$$

Así, la segunda se convierte en una solución $y = \dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{-2t}$

Ahora, una función continua puede ser creada, la unión de estos dos soluciones que da la solución general:

$$y(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}(1-e^{-2t}) & \text{ if $0 \leq t \leq 1$} \\ \dfrac{1}{2}(e^2-1)e^{-2t} & \text{ if $t > 1$}\end{cases}$$

Este intento es correcta, porque esta es la respuesta dada por el libro. Pero, a pesar de la función anterior es continua en a $t=1$, no es diferenciable, ya que la derivada de $y(t)$ no es continua en a $t=1$ (hay una "torcedura" a $y(1)$). Así que, ¿por qué es la función por encima de una solución para $t\geq 0$? No debería ser una solución diferenciable en todas partes?

Answer 1

Gran intento! La función de $y(t)$ es una solución porque satisface la OE en dos partes. $g$ es discontinua en a$t=1$, por lo que, como usted ha señalado, podemos resolver la OE en dos partes. Esto nos permite tener el deseado probables soluciones para $t>1$ y otro intervalo por separado. En algunos casos prácticos, tales como Circuitos Eléctricos, siempre queremos la solución particular de una función continua y es por eso que usted marcó $$\lim_{t\to 1^+}y(x)=y(1)$$ This later solution is not differentiable everywhere because it is not continuous at $t=1$ (Una Cúspide!) y, de hecho, usted no tiene OE en este punto, pero las dos partes son diferenciable en todas partes. No hay necesidad de tener tal condición potente en todas partes. ¿Qué puedo agregar para puntos adicionales aquí es que utilizamos la Picard de la Existencia de una solución única por separado en la forma en que la solución final sea continua en todas partes.