Deje $f$ ser un real continua de las funciones con valores en un espacio métrico $X$. Deje $Z(f)$ ser el conjunto de todos los $p\in X$ tal que $f(p)=0$
$\text{(a)}$ Demostrar que $Z(f)$ es cerrado.
$\text{(b)}$ Recordar que para un conjunto $E \subset X$ la distancia de un punto a este conjunto se define como $$h(x)=\inf_{s\in E}d(x,s)$$ Prove that $h$ es uniformemente continua.
$\text{(c)}$ El uso de la parte anterior para mostrar que para cualquier conjunto cerrado $E\subset X$ existe una función continua $f:X\to\Bbb{R}$ $0$ $E$ positivo y en otros lugares.
Deje $f$ ser un real continua de las funciones con valores en un espacio métrico $X$. Deje $Z(f)$ ser
el conjunto de todos los $p\in X$ tal que $f(p)=0$.
a) Demostrar que $Z(f)$ es cerrado.
b) Recordar que para un conjunto $E \subset X$ la distancia de un punto a este conjunto se define
como
$$h(x)=\inf_{s\in E}d(x,s).$$
Demostrar que $h$ es uniformemente continua.
c) el Uso de la parte anterior para mostrar que para cualquier conjunto cerrado $E \subset X$ existe una
función continua $f \colon X \to \mathbb R$ $0$ $E$ positivo y en otros lugares.
Para (un), creo que el conjunto de $\lbrace0 \rbrace$ es un conjunto finito, lo que significa que es un conjunto cerrado. Por el teorema de que una asignación de $f$ a de un espacio métrico $X$ a de un espacio métrico $Y$ es continua si y sólo si $f^{-1}(C)$ es cerrado muy cerrado set$C$$Y$, $Z(f)$ debe ser cerrado. Es esto correcto?
No estoy seguro de cómo resolver b) y c) a todos aunque. Tal vez puedo usar ese $\lvert h(x)-h(y) \rvert \leqslant \lvert d(x,y)\rvert$?
Me podrían ayudar a resolver este problema?
Gracias!
