A pesar de que la maquinaria de homomorphisms puede proporcionar una práctica del lenguaje para hablar de este tema, que no es realmente necesario para abordar la cuestión esencial aquí. Pero antes de continuar, debo decir que el OP de la prueba, una vez adaptadas de acuerdo a Daniel Fischer comentarios, parece bien a mí. Usted sólo necesita para asegurarse de que usted consigue sus manos en lo que Daniel Fischer llama a $k$, el menor entero positivo en $\ker f$. Por supuesto, técnicamente completo, usted necesita establecer que el mapa de $f:Z \to R$ definido por $f(1_Z) = 1_R$ es de hecho una (de grupo y/o el anillo) homomorphism, pero eso es bastante sencillo ejercicio de las definiciones. (Aquí he utilizado las notaciones $1_Z$, $1_R$ para denotar el "$1$" elementos de $Z$, $R$, respectivamente).
Habiendo dicho estas cosas, me gustaría volver por un momento al problema como se indica en las dos primeras frases de la OP pregunta:
"Vamos a R un anillo con 1 y sin cero-divisores. Tengo que mostrar que la característica de R es un primer o cero".
Creo que es un poco más simple para prescindir por completo con la homomorphism $f:Z \to R$ en este caso, y discutir directamente de $R$ en la forma usual, es decir. supongamos $1_R$, cuando se añade a sí mismo algún número finito $n$ de las veces, se obtiene el elemento cero de $R$; es decir, hemos
$1_R + 1_R + . . . + 1_R= 0$,
donde hay $n$ apariciones de $1_R$ en el lado izquierdo de esta ecuación. La concesión de la existencia de tales $n \in Z_+$ donde $Z_+$ denota el conjunto de números enteros positivos, tiene sentido afirmar la existencia de, por lo menos tal $n$, se $n_0$. Debemos tener $n_0 > 1$, para $1_R = 0$, y el conjunto de anillo de $R$ se derrumba a $\{0\}$ través $a = 1_Ra = 0a = 0$ todos los $a \in R$. Descartar este trivial o quizás, mejor, de los excluidos por definición de anillo de $R$ con una unidad de $1_R \ne 0$, caso, observamos que si $n_0 > 1$ es primo, hemos terminado. Si $n_0$ es compuesto, dicen, $n_0 = m_1m_2$$1 < m_1, m_2 < n_0$, entonces con un simple re-arreglo de la $n_0$ términos de $1_R$ en nuestros suma de los rendimientos de divisores de cero $0 \ne m_11_R, m_21_R \in R$. Por supuesto, si no $n \in Z_+$ existe, sólo podemos obtener una ecuación como
$1_R + 1_R + . . . + 1_R= 0$
por "suma cero" $1_R$'s de la izquierda (perdonar mi leve abuso de notación/idioma), por lo $char R = 0$ en este caso.
Con toda honestidad, debo añadir que este es el argumento estándar I y alrededor de un trillón de otros matemáticas universitarios presenciado en los primeros cursos de álgebra abstracta.
Bien, hay dos centavos, si alguna vez hubo. No completamente sin valor de dos centavos, sin embargo. Espero que esto aclara. Saludos.
