¿Si es de $A$ $3\times 3$ complejo matriz tal que $A^3=-I$, entonces el $A$ tiene valores propios distintos?

Question

Que $A$ ser una $3\times 3$ matriz compleja tal que $A^3=-I$

¿Cómo mostrar que $A$ tiene valores propios distintos?

Lo que si considero $A=-I?$ ¿no es entonces -1 convirtiéndose en el único valor eigen?

Answer 1

Esta pregunta fue contestada (más como confirmaron, realmente) en los comentarios.

Para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ la matriz ecuación $A^3 = \lambda I$ tiene $A = \mu I$ como una solución donde $\mu$ es una de las raíces cúbicas de $\lambda$. Más en general, para cualquier \in \mathbb{C}[z $p(z) polinomio distinto de cero] $, the matrix equation $p(A) = 0 $ has a solution $A = \mu I$ where $\mu$ is one of the roots of $p (z) $. Matrices of the form $\mu I$, far from having distinct eigenvlaues, have only one eigenvalue, that is to say $\mu$.