¿Es correcta mi prueba? (teoría del grupo, Lagrange)

Question

$G$ es un grupo finito.

Demostrar, que $\exists k\in G:k\neq 1_G, k^2=1_G \iff |G|$ es incluso.

Mi prueba

1) $\Rightarrow$:

$\exists k\in G: k^2 = 1_G\Rightarrow \exists G'\leq G$ s.t. $ G'=\{1_G,k\}$ , $|G'|=2$

Utilizando El Teorema De Lagrange:

$|G'|$ divide $|G|\Rightarrow |G|$ es incluso.

2) $\Leftarrow$:

$|G|=2n\Rightarrow |G|\geq 2$ $|G|=2n\Rightarrow\exists G'\leq G$ $|G'|=2\Rightarrow\{1_G=1_{G'}, k\}= G'$ $k=k^{-1}\Rightarrow |k|=2$

$\blacksquare$

Podría usted por favor revise mi prueba? Actualmente estoy aprendiendo a escribir las pruebas usando tan pocas palabras como sea posible, así que podría también comprobar si la sintaxis es correcta?

Answer 1

Para la implicación inversa creo que intentaban expresar esto:-
Si para todos los elementos $x\neq e$ $G$, $x\neq x^{-1}$ incluyendo el número total de identificación de elementos en $G$ es impar, que no es el caso, por lo que debe existir un elemento sin identidad en $G$ que es su propio inverso.

Answer 2

La implicación en la 2) $\Leftarrow$: $|G|\geq2\Rightarrow\cdots$ es incorrecta.

Si por ejemplo, $|G|=3>2$ entonces no existe $k\in G$ $k\neq1_G$ y $k^2=1_G$.

Aquí, puede aplicarse el Teorema de Cauchy :

Si $p$ es un primo que divide el orden de $G$ $G$ contiene un elemento de orden $p$.

Answer 3

Creo que eres un poco descuidado en la segunda parte de la prueba. Tenga en cuenta que la premisa es que el $|G|$ es incluso (y $G$ es finito). La existencia de $k$ no es parte de la premisa, pero parece que lo uso sin motivación.

Luego, por supuesto, formalmente ${1_G=1_{G'}, k}$ probablemente no es un miembro de $G'$, pero posiblemente un subconjunto de ella.

La segunda parte, por ejemplo, podría ser probada señalando que con el $|G|\le2$ tenemos una no-identidad elemento (la creación de un subgrupo) que tiene ya sea par o impar orden. Si aún usted puede encontrar fácilmente el $k$ tomando el centro del elemento. Si es extraño, puede utilizar cosets para encontrar una adecuada sub grupo $G'$ $|G'|$ siendo aún y repetir.