Rastro de un % de desigualdad inversa $\text{Tr}(A^{-1}) \ge n^2 \text{Tr}(A)^{-1}$

Question

Que $A \in \mathbb{R}^n$ ser una matriz definida positiva. Entonces, es bien sabido que\begin{align} \text{Tr}(A^{-1}) \ge n^2 \text{Tr}(A)^{-1} \end {alinee el} la prueba sigue usando el hecho de que trace y una suma de valores propios y usando la desigualdad de la AMGM.

Mi pregunta: ¿Esta desigualdad tiene con iff de igualdad y sólo si $A$ es una matriz diagonal?

Sé también que esta desigualdad se mantiene con la igualdad de valores propios del iff de $A$ son idénticos. Pero no estoy seguro de esto implica que el $A$ es una matriz diagonal.

Answer 1

Todo positivo-definida matrices son unitarias diagonalizable $A=UDU^T$ y $$ \operatorname{Tr}=\operatorname{Tr}UDU^T=\operatorname{Tr}DU^TU=\operatorname{Tr}D. $$ Del mismo modo, $\operatorname{Tr}A^{-1}=\operatorname{Tr}D^{-1}$. Por lo tanto, no tiene ninguna restricción para asumir ese $A$ es diagonal. Por supuesto, no va a ser igualdad para una matriz diagonal en general (de lo contrario, sería la igualdad para todos positiva definida matrices). Es la igualdad iff todos los autovalores son iguales, es decir, iff $A=cI$, un escalar múltiples de la matriz de identidad.

P. S. Sólo para la integridad: la prueba de la desigualdad se sigue inmediatamente de Cauchy-Schwarz $$ \left(\sum\sqrt{\lambda_i}\cdot\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}\right)^2\le \sum\lambda_i\cdot\sum\frac{1}{\lambda_i} $$ con la igualdad iff $(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})$ $(\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}})$ son paralelas, es decir, todos los $\lambda_i$ son iguales.

Answer 2

Editar : echaba de menos el supuesto de que la matriz debe ser simétrica.

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Hay igualdad si y solamente si todos los valores propios de $A$ son iguales. Esto no implica que el $A$ es diagonal. Por ejemplo, tomar $$A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix} \, . $ $ no es diagonal sino que satura su desigualdad.