¿Puede la derivada demostrar que mi función tiene una sola raíz?

Question

Tengo una función: $$f(x)=x-\ln(x^2+1)+2$$

Quiero demostrar que mi función tiene exactamente una raíz. Si diferencio: $$f'(x)=1-\frac{2x}{x^2+1}$$ Puedo ver que este valor es positivo para cada $x$ . ¿Prueba esto que mi función es estrictamente creciente? Todos los teoremas que conozco sobre el argumento se aplican para un intervalo cerrado, así que no sé si mi resolución es válida. ¿Debo demostrar también que la función tiene una parte positiva y otra negativa?

Answer 1

Si sabes que la derivada es positiva en todas partes, entonces sabes que la función tiene como máximo una raíz -- por ejemplo, se puede razonar que si tuviera dos raíces diferentes, entonces el teorema del valor medio dice que $f'(x)=0$ para algunos $x$ entre esas raíces, lo cual sabes que no es el caso.

Por desgracia, en este caso se necesita un poco más de delicadeza que eso, porque $f'(1)=0$ como observó André. Sin embargo, el argumento sigue mostrando que no puede haber dos raíces en el mismo lado de $1$ -- y puedes calcular fácilmente que $f(1)>0$ por lo que otra aplicación de la MVT muestra que no puede haber una raíz mayor que $1$ .

Pero hay que argumentar por separado que la función tiene al menos uno raíz. El teorema del valor intermedio lo hará por ti si demuestras que la función tiene un valor positivo y otro negativo.

Answer 2

$g(x)=\log(1+x^2)$ es una función convexa sobre $(-1,1)$ y una función cóncava sobre $(-\infty,-1)$ y $(1,+\infty)$ , ya que: $$ g''(x) = 2\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}. $$ Calculando el comportamiento de la bebida en una vecindad de $x=1$ tenemos que $g(x)\leq x$ para cualquier $x\geq 0$ por lo que las únicas soluciones de $g(x)=x+2$ tienen que pertenecer a $\mathbb{R}^-$ . En $\mathbb{R}^-$ $g(x)$ es una función decreciente y $x+2$ es una función creciente: comparando los comportamientos en una vecindad izquierda de $x=0$ y en la vecindad correcta de $-\infty$ conseguimos que $g(x)=x+2$ tiene una solución real única (negativa). Algunos pasos del método de Newton con punto de partida $-1$ dar que dicha raíz es $\approx -1.15369622$ .