Una desigualdad de Hölder-como

Question

Considerar un % de la medida de probabilidad $\mu$en un conjunto de $X$. Deje que $p,q \in (1, \infty)$, $f \in L^{pq} \cap L^1$ (tan también $f\in L^p \cap L^q$) no negativo. Podemos decir nada sobre la relación entre

$$\int f^{qp} d\mu + \left(\int f d\mu\right)^{qp}$$

y

$$\left(\int f^p d\mu \right)^q + \left(\int f^q d\mu \right)^p ?$$

¿En otras palabras, hay una desigualdad diciendo que una de estas dos cantidades es mayor o igual a otro bajo ciertas circunstancias? Parece como si debería haber una manera de deducir algo como esto de las desigualdades Hölders/Jensens, pero no he podido hacerlo.

Answer 1

Deje $I(f):=\int f^{pq}d\mu+\left(\int f\mu\right)^{pq}$$J(f):=\left(\int f^pd\mu\right)^q+\left(\int f^qd\mu\right)^p$. Dado que, por la desigualdad de Jensen, $$\left(\int f^pd\mu\right)^q\leq \int f^{pq}d\mu\quad \mbox{and}\quad\left(\int f^qd\mu\right)^p\leq \int f^{pq}d\mu,$$ tenemos $J(f)\leq 2I(f)$ cualquier $f\in L^{pq}$.

Pero en general, no podemos encontrar a $C$ universal (es decir, que no dependen de $f$, pero sólo en $p$$q$) tal que $I(f)\leq C\cdot J(f)$. De hecho, si era el caso, en particular, para $f=\chi_A$, donde a es medible, entonces $$\mu(A)\leq C(\mu(A)^p+\mu(A)^q)$$ por lo tanto $\frac 1C\leq \mu(A)^{p-1}+\mu(A)^{q-1}$. Si podemos encontrar una secuencia $\{A_n\}$ de los conjuntos medibles tales que $\mu(A_n)>0$ todos los $n$ $\mu(A_n)\to 0$ obtenemos una contradicción. (por ejemplo, cuando el espacio no ha $\mu$-átomos)