Subgrupo conmutador y subgrupo generado por el cuadrado.

Question

Mientras leía Curso de álgebra de D. Perrin, encontré la siguiente afirmación:

Proposición. Si $G$ es un grupo, entonces $D(G)\subseteq G^2$ donde $G^2$ es el subgrupo generado por los cuadrados de $G$ .

Entiendo que basta con demostrar que para todo $x,y\in G$ , $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ es un producto de cuadrados.

De forma equivalente, puesto que $G^2$ es característica, y por tanto normal, basta con establecer que $G/G^2$ es abeliano.

Por ahora, ninguno de mis intentos ha sido fructífero. Cualquier aclaración será muy apreciada.

Answer 1

Pista: demuestre que en un grupo en el que cada cuadrado es la identidad, el grupo debe ser abeliano. Luego aplique a $G/G^2$ . Tenga en cuenta que $g^2=1$ es equivalente a $g=g^{-1}$ .