Mientras leía Curso de álgebra de D. Perrin, encontré la siguiente afirmación:
Proposición. Si $G$ es un grupo, entonces $D(G)\subseteq G^2$ donde $G^2$ es el subgrupo generado por los cuadrados de $G$ .
Entiendo que basta con demostrar que para todo $x,y\in G$ , $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ es un producto de cuadrados.
De forma equivalente, puesto que $G^2$ es característica, y por tanto normal, basta con establecer que $G/G^2$ es abeliano.
Por ahora, ninguno de mis intentos ha sido fructífero. Cualquier aclaración será muy apreciada.
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Por curiosidad: ¿es $D(G)$ ¿una notación para el subgrupo conmutador?
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@Estudiante ¡Sí, eso es exactamente lo que es!
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Oh, nunca había visto eso antes :)
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Para una demostración directa, basta con observar que $xyx^{-1}y^{-1}=x^2(x^{-1}y)^2y^{-2}$ .