En la definición de haces vectoriales homogéneos, se define una clase de equivalencia.
Brevemente:
G es un grupo mentiroso y H un subgrupo (mentiroso). Definir
$$ \rho : H \rightarrow GL(V) $$
donde V es un espacio vectorial.
La clase de equivalencia se define como
$$ (g_1, v_1) = (g_1h, \rho(h^{-1})v_1) $$
La pregunta es por qué la definición anterior y no
$$ (g_1, v_1) = (g_1h, \rho(h)v_1) ? $$
Siguiendo la respuesta de Qmechanic, aquí hay una demostración paso a paso de por qué una definición funciona y la otra no:
$$ (g,v)hk = ((g,v)h)k = ((gh, \rho(h)v)k = ((ghk, \rho(k)\rho(h)v) = ((ghk, \rho(kh)v) \neq (g,v)hk $$
De lo anterior, la segunda definición no funciona.
Por otro lado
$$ (g,v)hk = ((g,v)h)k = ((gh, \rho(h^{-1})v)k = ((ghk, \rho(k^{-1})\rho(h^{-1})v) = ((ghk, \rho(k^{-1}h^{-1})v) = $$
$$ ((ghk, \rho((hk)^{-1})v) = (g,v)hk $$
La primera definición $$ (g, v).h ~:=~ (gh, \rho(h^{-1})v) $$ define un derecho acción de grupo $G \times V \times H \to G \times V$ , $$ ((g, v).h).k~=~(g, v).(h.k), $$ mientras que la segunda definición $$ (g, v) ~\mapsto~ (gh, \rho(h)v) $$ no es una acción de grupo de izquierda ni de derecha, véase el comentario de Chris Gerig.
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