Supongamos $f$ es una función real con dominio de $\mathbb{R}^1$ a que el valor intermedio de la propiedad: Si $f(a)<c<f(b)$, $f(x)=c$ algunos $x$$a$$b$. Supongamos también, para cada racional $r$, que es el conjunto de todos los $x$ $f(x)=r$ es cerrado. Demostrar que $f$ es continua.
Prueba: Por contradicción. Vamos a $f$ no es continua en algún punto de $p\in \mathbb{R}^1$. A continuación, $\exists \{x_n\}$ tal que $x_n\to p$ pero $f(x_n)\nrightarrow f(p)$. Esto significa que $\forall N$ $\exists n\geqslant N$ tal que $|f(x_n)-f(p)|\geqslant \varepsilon$ algunos $\varepsilon>0$. Por lo tanto $\exists \{n_k\}$ tal que $x_{n_k}\to p$ pero $|f(x_{n_k})-f(p)|\geqslant \varepsilon$. Deje $\{k_j\}$ tal que $x_{n_{k_j}}\to p$ $f(x_{n_{k_j}})\leqslant f(p)-\varepsilon<f(p)$ pero $(f(p)-\varepsilon,f(p))$ contiene algunos $q\in\mathbb{Q}$. Por lo tanto $f(x_{n_{k_j}})<q<f(p)$ todos los $j$ y algunos $q$. Por intermedio valor de la propiedad $\exists a$ $x_{n_{k_j}}$ $p$ tal que $f(a)=q.$ $\exists \{j_r\}$ tal que $$x_{n_{k_{j_r}}}<a<p\quad \text{or}\quad p<a<x_{n_{k_{j_r}}}.$$ WLOG we can consider the first inequality and making limit conversion we get $p\leqslant<p.$ It's nonsense. I guess that here must $p\leqslant un\leqslant p$ o no?
Alguien puede ayudar a mí? ¿Qué es lo próximo?
