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Suponga que $A $ $n \times n$ simétrica positiva definida la matriz.

Suponga que $A$ $n\times n$ simétrica positiva definida la matriz.

Probar que:

el elemento de $A$ con la máxima magnitud, debe recaer en la diagonal.

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Alex Silva Puntos 2329

Deje $a_{max}$ a ser el elemento de $\mathbf{A}$ con la máxima magnitud. Asumir que no es mentira en la diagonal. Por lo tanto, no es existir un $2\times 2$ principal menor igual a $ab- a_{max}^2 \leq 0$ algunos $a$ $b$ en la diagonal principal. Por lo tanto, como la matriz es positiva definida, $a_{max}$ debe ser en realidad, en la diagonal principal.

1voto

Algebraic Pavel Puntos 11952

Para un $n\times n$ Hermitian positivo semidefinite matriz $A=(a_{ij})$ y $1\leq i,j\leq n$, $$|a_{ij}|^2\leq a_{ii}a_{jj}\leq\max\limits_{k}a_{kk}^2 \quad \Rightarrow \quad|a_{ij}|\leq\max_k a_{kk}.$$

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jms Puntos 6

Sugerencia: Asumir que este no es el caso, es decir, la entrada de magnitud máxima es un fuera de la diagonal de la entrada$A_{ij}=A_{ji}$,$j \neq i$. Para mostrar que $A$ no se puede PSD, es suficiente para construir una $x$ (un certificado) tal que $$ x^{T}Ax < 0. $$ ¿Cómo podemos encontrar uno de esos $x$? Para responder a esto, tenemos que dejar en claro lo $x^{T}Ax$ realmente es. Cómo se puede escribir como una suma? Que las entradas de $x$ multiplicar $A_{ij}$?

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