Mostrar que $X_n$ siga algo un CLT

Question

Deje $X_i$ ser yo.yo.d. $f_X(x)=\dfrac{1}{|x|^3}1_{\{|x|>1\}}$. Mostrar que $\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt{n\log n}}\to N(0,1)$.

Me di cuenta de que $Var(X_i)=\infty$$E(X_i)=0$. No puedo aplicar Lindeberg o Lyapounov CLT en cualquier forma, así que traté de usar funciones características.

Observo que $$\lim_{n\to\infty}\varphi_{S_n}\left(\dfrac{t}{\sqrt{n\log n}}\right)=\exp\left[\lim_{n\to\infty}-\left (\int_1^\infty\dfrac{4n}{x^3}\sin^2 \left(\dfrac{tx}{2\sqrt{n\log n}}\right)dx\right)\right]$$

Ahora quiero mostrar que este límite es igual a $\exp(-t^2/2)$. ¿Cómo puedo hacer eso? Yo no creo que pueda aplicar Convergencia Dominada aquí.

Así que, esencialmente, la tarea es demostrar que la integral converge a$t^2/2$$n\to\infty$.

Answer 1

El uso de funciones características es definitivamente el camino a seguir. Hemos, a través de la integración por partes: $$ \int \frac{\sin^2(t x)}{x^3}\,dx = t^2\text{Ci}(2tx)-\frac{t}{2x}\sin(2tx)-\frac{1}{2x^2}\sin^2(tx)\tag{1}$$ por lo tanto, de un gran $n$s: $$\int_{1}^{+\infty}\frac{4n}{x^3}\,\sin^2\left(\frac{tx}{2\sqrt{n\log n}}\right)\,dx \approx \frac{1}{2\log(n)}\left[3t^2-2t^2\text{Ci}\left(\frac{t}{\sqrt{n\log n}}\right)\right]\tag{2}$$ y el problema se reduce a calcular: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{3-2\,\text{Ci}\left(\frac{t}{\sqrt{n\log n}}\right)}{\log(n)}\tag{3} $$ that by De l'Hopital theorem equals: $$\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{\log n}\right)\cos\left(\frac{t}{\sqrt{n\log n}}\right) = 1.\tag{4}$$