convergencia de pointwise en $\sigma$-álgebra

Question

Ser de que $(T,\mathcal{A})$ $\sigma$-álgebra y $(f_{n})$ una secuencia de $\mathcal{A}$-funciones mensurables de $T$ $\mathbb{R}$. Muestran que el conjunto de $$\{ t \in T: \lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}(t)\text{ exists and is finite}\}$ $ $\mathcal{A}$.

Pruebo con la definición de convergencia del pointwise, es decir, $\forall \epsilon >0$, $\exists n_{0}$ tal que $|f_{n}(t)-f(t)|<\epsilon$, ahora $f_{n}(t) \in (f(t)-\epsilon,f(t)+\epsilon)$ $f_{n}$ es medible el conjunto es en $\mathcal{A}$. ¿Puedo usar esto para resolver el problema, o ¿existe otra manera?

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Las otras respuestas con $\inf$, $\sup$, %#% de %#% y $\limsup$ son agradables y eficientes, pero también se puede hacer su idea en una discusión:

Observar que una secuencia de números verdaderos converge a un número real si y sólo si es una secuencia de Cauchy. Por lo tanto $$\begin{align*} \{t \in T\,&:\,\lim_{n\to\infty} f_n(t) \text{ exists and is in }\mathbb{R}\} \\ & = \{t \in T\,:\,(\forall k \in \mathbb{N})\,(\exists N \in \mathbb{N})\,(\forall m,n \geq N) \; |f_n(t) - f_m(t)| \lt 1/k\} \\ & = \bigcap_{k = 1}^\infty \bigcup_{N = 1}^\infty \bigcap_{n,m \geq N} \{t \in T\,:\,\lvert f_n(t)-f_m(t)\rvert \lt 1/k\} \in \mathcal{A} \end{align*} $$ porque $\liminf$ es una $\mathcal{A}$-álgebra y $\sigma$ es una función medible, así que $\lvert f_n(t) - f_m(t)\rvert$.

Answer 2

Sugerencia: Dado un $t\in T$, $\lim_{n\to\infty}f_n(t)$ existe si y sólo si $$\limsup_{n\to\infty}f_n(t)=\liminf_{n\to\infty}f_n(t),$ $ y esta cantidad es finita. Demuestran que las funciones $$g(t)=\limsup_{n\to\infty}f_n(t),\quad\quad h(t)=\liminf_{n\to\infty}f_n(t)$ $ $\mathcal{A}$-medibles, por lo tanto, el conjunto donde son iguales es mensurable, por lo tanto, el conjunto donde están iguales y finitos es mensurable.

Answer 3

Mostrar la función $x \mapsto \sup_n f_n(x)$ es mensurable. Sigue de esto que $x \mapsto \inf_n f_n(x)$ es mensurable. De estos, se deduce que $\overline{f}(x) = \limsup_n f_n(x)$ y $\underline{f}(x) = \liminf_n f_n(x)$ son medibles. A continuación, defina la función mensurable $\phi(x) = \overline{f}(x) - \underline{f}(x)$. Entonces considere el conjunto de $\phi^{-1} \{0\} \cap \smash{\overline{f}}^{-1} \mathbb{R} \cap \underline{f}^{-1} \mathbb{R}$, que es mensurable.