¿Lo que ' s con el Integral $\int\sqrt{\cos(2\theta)}\, \mathrm d\theta$?

Question

Un estudiante al azarme pidió para calcular

$$\int\sqrt{\cos(2\theta)}\, \mathrm d\theta.$$

No pude hacerlo, así como varios otros instructores. He escrito el integral en Wolfram y dice que es una integral elíptica de tipo 2. No estoy familiarizado con las integrales elípticas y no tengo ni idea por qué este estudiante me pidió que hiciera esto puesto que no estamos aún haciendo derivados todavía. ¿Es integrante importante? ¿Tiene una respuesta de forma cerrada?

Answer 1

La integral elíptica de segunda especie cultivos desde

$$\int\sqrt{\cos\;2\theta}\;\mathrm d\theta=\int\sqrt{1-2\sin^2\theta}\;\mathrm d\theta=E(\theta|2)+C$$

donde $E(\phi|m)=\int_0^\phi \sqrt{1-m\sin^2\theta}\;\mathrm d\theta$ es la incompleta integral elíptica de segunda especie.

Todo bien y bueno, pero, tradicionalmente, uno se transforma elíptica integrales tales que el parámetro de $m$ está dentro del intervalo de $[0,1]$ (correspondiente al hecho de que las elipses tienen su excentricidad en el intervalo de $(0,1)$). El uso de ciertas transformaciones, se tiene

$$E(\theta|2)=\sqrt{2}E\left(\arcsin(\sqrt{2}\sin\;\theta)|\frac12\right)-\frac1{\sqrt{2}}F\left(\arcsin(\sqrt{2}\sin\;\theta)|\frac12\right)$$

donde $F(\phi|m)=\int_0^\phi\frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}$ es la incompleta integral elíptica de primera especie, que es probablemente lo que usted desea.