Integral de expresión fraccionaria $\int^3_0 \frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}$

Question

Quiero resolver esta integral y pensar sobre llamada $\sqrt{x+1} = t \rightarrow t^2 = x+1$ $$\int^3_0 \frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}$ $Now la integral es: $$\int^3_0 \frac{2tdt}{1+t}$ $now necesito sus sugerencias.
Gracias.

Answer 1

La sustitución es una buena idea. Los detalles no están muy bien. ¿Obtenemos $dx=2t\,dt$, y por lo tanto la integral definida es igual a $$\int_{t=1}^2 \frac{2t}{1+t}\,dt.$ $ ahora puede usted tomar? Puede ser útil tener en cuenta que $\frac{2t}{1+t}=2-\frac{2}{1+t}$.

Answer 2

$$\int^2_0 \frac{2tdt}{1+t}$$ $$2\int^2_0 \frac{1+t-1}{1+t}\,dt$$ $$2\int^2_0 \frac{1+t}{1+t}-\frac{1}{1+t}\,dt$$ $$2\int^2_0 1-\frac{1}{1+t}\,dt$$ $$2[ t-\log({1+t})]_0^2$$ $$2[ 2-\log 3]$$