Hay un método para evaluar mentalmente $e^{-x}$$x>0$? Sólo para tener una idea al calcular las probabilidades o cualquier cosa que es una función exponencial de algunos parámetros.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si $x$ es "suficientemente pequeño", me gusta el uso de la $(2,2)$ Padé approximant, que es fácil de reparto en una memorable forma:
$$\exp\,x\approx \frac{(x+3)^2+3}{(x-3)^2+3}$$
Para $|x| < \frac12$, la diferencia absoluta entre el approximant y la verdadera función es $< 8\times 10^{-5}$. Bastante buena aproximación para una mera función racional... por supuesto, como en todos los approximants, más que ir de $0$, menos precisa se convierte en.
Andrew
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Dilip estaba pidiendo en los comentarios acerca de "su método"; ya que este es demasiado largo para un comentario, estaré citando los párrafos pertinentes aquí:
Números De La Suerte
Un día en la universidad de Princeton, yo estaba sentado en el salón y escuchó a algunos matemáticos hablando de la serie para $e^x$, que es $1+x+x^2/2!+x^3/3!$ Cada término se obtiene multiplicando el anterior plazo por $x$ y dividiendo por el número siguiente. Por ejemplo, para obtener el junto a término después de la $x^4/4!$ multiplica ese término por $x$ y dividir por $5$. Es muy simple.
Cuando yo era un niño yo estaba emocionado por la serie, y había jugado con este cosa. Yo había calculado $e$ el uso de esa serie, y había visto cómo rápidamente los nuevos términos se convirtió en muy pequeñas.
Murmuré algo acerca de cómo era fácil calcular el $e$ a cualquier potencia la utilización de esa serie (que acaba de sustituir el poder para $x$).
"Ah, sí?", se dijo. "Bien, entonces, ¿qué es $e$$3.3$?", dijo que algunos joker, creo que era de Tukey.
Yo digo, "Eso es fácil. Es $27.11$."
Tukey sabe no es tan fácil de calcular todo lo que en su cabeza. "¡Hey! ¿Cómo se puede hacer eso?"
Otro hombre dice, "Usted sabe Feynman, él solo está fingiendo. No la verdad".
Van a conseguir una mesa, y mientras lo están haciendo, me puse un par de más figuras. "$27.1126$", Digo.
Lo encuentran en la tabla. "La derecha! Pero, ¿cómo había que hacer !"
"Me acaba de sumarse a la serie."
"Nadie puede sumar la serie que rápido. Tan solo tienes que pasar a conocer que uno. Cómo acerca de $e$$3$?"
"Mira," le digo. "Es un trabajo duro! Sólo un día!"
"¡Ah! Es un falso!" dicen, felizmente.
"Bien," le digo, "Es $20.085$."
Se busca en el libro como puedo poner un par de figuras más. Son todos emocionado ahora, porque tengo otro a la derecha.
Estos son los grandes matemáticos del día, perplejo cómo puedo calcular $e$ a cualquier poder! Uno de ellos dice, "Él sólo no puedeser sustituyendo y sumando-es demasiado duro. Hay algún truco. Usted no podía hacer de cualquier número como $e$$1.4$."
Yo digo, "Es un trabajo duro, pero para usted, OK. Es $4.05$."
Como están mirando para arriba, he puesto algunos más dígitos y decir, "Y esa es la última para el día!" y salir caminando.
Lo que pasó fue esto: se me ocurrió a conocer tres números-el logaritmo de $10$ a la base $e$ (necesaria para convertir los números de la base de la $10$ a base $e$), que es $2.3026$ (por lo que sabía que $e$ $2.3$ es muy cerca de $10$), y a causa de la radiactividad (media de la vida y la mitad de la vida), yo sabía que la $\log$ $2$ a la base $e$, que es $.69315$ (así yo también sabía que $e$ $.7$ es casi igual a $2$). Yo también conocí a $e$ ( $1$ ), que es $2.71828$.
El primer número que me dieron fue$e$$3.3$, $e$ a el $2.3$-diez veces $e$ o $27.18$. Mientras ellos estaban sudando sobre cómo lo estaba haciendo, yo estaba corrigiendo en el extra $.0026$-$2.3026$ es un poco alto.
Yo sabía que no podía hacer otra; que fue pura suerte. Pero entonces el guy dijo $e$$3$: $e$ $2.3$ veces $e$ a la $.7$, o diez veces dos. Así que yo sabía que era la $20.$algo, y mientras estaban preocuparse de la forma en que lo hice, me ajustados para el $.693$.
Ahora estaba seguro de que yo no podía hacer otra, porque la última fue de de nuevo por pura suerte. Pero el hombre dijo:$e$$1.4$, $e$ a la $.7$ veces sí. Así que todo lo que había que hacer es arreglar $4$ un poco poco!
Nunca lo hicieron averiguar cómo lo hice yo.
...
Hay menos de lo que el ojo. ;)
Nikolai Prokoschenko
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Anthony Shaw
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Como un suplemento a la de Henry respuesta, tenga en cuenta estas aproximaciones racionales a$\log_{10}(e)$$\log_{2}(e)$.
Dos de los approximants para la continuación de la fracción de $\log_{10}(e)$ $\frac{3}{7}$ (baja y no tan buena como la de $.43$) y $\frac{10}{23}$ (alto, pero mejor que la $.43$). Así que si se hace el cálculo más fácil, usted puede intentar $$ 10^{-10x/23}<e^{-x}<10^{-3x/7}\etiqueta{1} $$ al $x>0$. El orden en el $(1)$ se invierte para $x<0$.
Dos de los approximants para la continuación de la fracción de $\log_{2}(e)$ $\frac{10}{7}$ (baja y no tan buena como la de $1.44$) y $\frac{13}{9}$ (alto, pero mejor que la $1.44$). Así que si se hace el cálculo más fácil, usted puede intentar $$ 2^{-13x/9}<e^{-x}<2^{-10x/7}\etiqueta{2} $$ al $x>0$. El orden en el $(2)$ se invierte para $x<0$.
milhouse
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