$4$-forma $ \omega \wedge \omega$desaparece en $S^4$

Question

Si $\omega$ es una forma cerrada $2$ $S^4$, ¿cómo puedo mostrar el $4$%-forma $ \omega \wedge \omega$desaparece en algún lugar en $S^4$? Supongo que el hecho de que estamos hablando sobre la $2$-forma cerrada, que es el quid.

Answer 1

Obviamente $d(\omega\wedge\omega)=0$, por lo que $\omega\wedge\omega$ representa un elemento de $H^4(S^4)$.

$\omega\wedge\omega$ Es nunca cero. Entonces es una forma de volumen y por lo tanto su clase en $H^4(S^4)$ no cero.

Ahora, desde $d\omega=0$ y $H^2(S^4)=0$, es un #%-forma de $1$% #% tal que $\eta$. $d\eta=\omega$ $d(\eta\wedge\omega)=\omega\wedge\omega$ Es un coboundary. Esto es absurdo.