Intuición para el producto cruzado del vector consigo mismo y del vector con el vector cero

Question

Tengo problemas para intuir las siguientes dos identidades vectoriales para cualquier vector $\mathbf{v}$ . Sólo estoy preguntando sobre la intuición aquí, y pas sobre sus pruebas (que se desprenden de la definición de producto cruzado):

$\color{green}{\mathbf{v}} \times \color{brown}{\mathbf{v}} = \mathbf{0} \tag{*}$

$\mathbf{v} \times \mathbf{0} = \mathbf{0} \tag{*}$

Para (*), mi intuición es que queremos un vector que sea perpendicular a ambos $\color{green}{\mathbf{v}}$ y $\color{brown}{\mathbf{v}}$ . Pero este es el mismo vector, escrito dos veces. Por lo tanto, queremos un vector que sea perpendicular a sólo $\mathbf{v}$ . ¿No habría infinitos vectores perpendiculares a un vector cualquiera? ¿Por qué es $\mathbf{0}$ ?

Para (**), mi intuición es que queremos un vector que sea perpendicular a ambos $\mathbf{v}$ y $\mathbf{0}$ . Desde $\mathbf{0}$ tiene una magnitud $0$ Por lo tanto, no existe "físicamente", por lo que ningún vector puede ser perpendicular a él. Sin embargo, no estoy seguro de esto.

Answer 1

Una buena forma de entenderlo es, quizás, saber qué significa la magnitud del producto cruzado. Si tenemos dos vectores $v$ y $w$ entonces su producto cruzado $v \times w$ es un vector ortogonal al plano abarcado por $v$ y $w$ y siendo la magnitud el área del paralelograma que tiene los vectores como lados.

Ahora, si se obtiene sólo el vector $v$ y calcular $v \times v$ la magnitud de esta cosa debe ser el área del paralelograma con $v$ y $v$ como lados. Sin embargo, este paralelogramo es degenerado (hablando en términos generales, no hay paralelogramo en absoluto en verdad), por lo que su área debería ser realmente cero.

Si se considera por otro lado $v\times 0$ esto sería en magnitud el área del paralelogramo cuyos lados son $v$ y $0$ Sin embargo, de nuevo este paralelograma es degenerado y no debería tener área, por lo que $v\times 0 $ debería ser realmente el vector nulo.

Answer 2

En cambio, sugiero una definición intuitiva diferente del producto cruzado: que produce un vector perpendicular al plano abarcado por los dos vectores .

Por lo tanto, para (*), no hay ningún plano abarcado y, por lo tanto, ningún vector de salida. Para (**), de nuevo, no se puede formar ningún plano entre un vector y el vector cero, por lo que el resultado es cero.

nb. esta es también una buena definición para usar si alguna vez vas más allá de la 3d, donde el producto cruzado no está definido pero hay productos similares que hablan de planos abarcados por vectores.

Answer 3

El par sobre el origen, el momento de giro, el esfuerzo de giro, etc. de una fuerza $\mathbf{F}$ actuando en un punto $\mathbf{d}$ viene dada por $\mathbf{\tau}=\mathbf{d}\times \mathbf{F}$ . La dirección viene dada por izquierda-loosie, derecha-tightie y cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento entonces la magnitud viene dada por $Fd$ .

Si acepta esto, sus resultados son casi triviales y perfectamente comprensibles.

El primero es un estiramiento por lo que no hay giro y el segundo no tiene fuerza por lo que no hay giro.

Answer 4

Puede que esta respuesta se aleje de la intuición y entre en el terreno de las pruebas, pero haré todo lo posible por apelar sólo a la intuición.

Puede ser útil considerar la longitud del producto cruzado de dos vectores, en lugar de pensar únicamente en su dirección. La longitud del producto cruzado de dos vectores es directamente proporcional a la longitud de cada vector, así como al seno del ángulo que abarcan.

En el primer caso, el ángulo comprendido entre un vector y él mismo es $0$ y $\sin(0)=0$ de manera que obtenemos un vector de longitud $0$ . En el segundo caso, la longitud de uno de los vectores es $0$ por lo que obtenemos un vector de longitud $0$ . En cualquier espacio de producto interno, sólo hay un vector de longitud $0$ por lo que los resultados de $v\times v$ y $v\times 0$ nos obligan a considerar sólo la longitud.