Afirmar la hipótesis de inducción

Question

Me gustaría preguntar acerca de la mejor manera para el estado de la hipótesis de inducción en una prueba por inducción.

Sólo para usar un ejemplo concreto, supongamos que yo quería demostrar que $n!\ge 2^{n-1}$ para cada entero positivo $n$.

Suponiendo que ya he verificado el caso de $n=1$, żcuál de las siguientes afirmaciones de la inducción de la hipótesis sería mejor utilizar, y, lo que es más importante, ninguna de ellas son inaceptables?

1) Vamos a $n\in\mathbb{N}$$n!\ge2^{n-1}$.

2) Deje $n!\ge2^{n-1}$ algunos $n\in\mathbb{N}$.

3) Asumir que $n!\ge2^{n-1}$ algunos $n\in\mathbb{N}$.

4) Deje $k!\ge2^{k-1}$.

(Me doy cuenta de que esto es en parte una cuestión de gusto y estilo, y por favor tenga en cuenta que no estoy preguntando cómo terminar el paso inductivo.)

Answer 1

El Principio de Inducción Matemática dice que para todos los "propiedades" $P$, $$\left(P(0)\land\forall k\in \mathbb N\left(P(k) \implies P(k+1)\right)\right)\implies \forall n\in \mathbb N(P(n)).$$

Así que básicamente lo que hace es preguntar cómo escribir el $\forall k\in \mathbb N\left(P(k)\implies P(k+1)\right)$ bits.

Es una declaración universal. Es frecuente comenzar a aquellos por "Let $k\in \mathbb N$". A continuación, usted desea probar la instrucción condicional $P(k)\implies P(k+1)$. Es común para probar estas empezando con "supongamos $P(k)$ sostiene" (o alguna variación).

Conclusión, me gustaría escribir "Vamos a $k\in \mathbb N$ y supongamos que $P(k)$" o "Vamos a $k\in \mathbb N$ ser tal que $P(k)$ sostiene" o alguna variación de este. Esto incluye (1) y, en cierta medida (4). Yo no lo uso (2) o (3) porque la palabra "algunos" sugiere fuertemente cuantificación existencial que incluso no se presente en la formulación del Principio de Inducción Matemática se utiliza en esta respuesta (que es el más común de todos modos).