La elevación de un homeomorphism, siempre que sea posible?

Question

Deje $h:M\to M$ ser un homeomorphism de un compacto de colector. Deje $p:\tilde M\to M$ una cubierta. 1) ¿Es siempre posible elevar $h$$H:\tilde M\to \tilde M$, de modo que todo encaja en el diagrama conmutativo? 2) Dado un diagrama de suponer además que p es un auto-cubierta. Es cierto que $H$ es necesariamente homotópica a $h$?

Gracias, Z.

1/yo creo que se puede ver que la respuesta a la segunda pregunta es "no". Cualquiera de los supuestos adicionales que haría en un "sí"?

2/Una referencia a la prueba de la declaración de Ben segundo párrafo es necesario.

Answer 1

No. Tomar cualquier homeomorphism que no conserva el subgrupo de $\pi_1$, que se eleva a los trazados cerrados en la cubierta. Por ejemplo, tomar la 2:1 que cubre $S^1\to S^1$ tomar el producto con el mapa de identidad en $S^1$. Deje $h$ ser el homeomorphism de conmutación de los factores.

En general, creo que es un homeomorphism va a levantar si y sólo si el asociado automorphism de $\pi_1$ enviar el subgrupo de la cubierta a un conjugado.

Otra forma de decir esto es que la categoría de cubiertas es equivalente a la categoría de $\pi_1$, y un homeomorphism se eleva si el correspondiente giro de la $\pi_1$-ajuste conserva su isomorfismo de clase.

Answer 2

Una condición necesaria y suficiente para $h$ a levantar es que $h_*(p_*(\pi_1(\tilde M)))\subseteq p_*(\pi_1(\tilde M))$. Esto se deduce de las condiciones habituales de un mapa (en este caso $h\circ p:\tilde M\to M$) para levantar a lo largo de una cubierta, como se da en Hatcher del libro, por ejemplo. (Observe que esta condición no decir que $h$ envía $p_*(\pi_1(\tilde M))$ a un conjugado, pero en sí mismo)