¿Dónde falla la definición "fácil" de una categoría n débil?

Question

Bien, voy a hacer una pregunta ingenua que seguramente tiene una respuesta interesante. Así, una primera aproximación a la definición de una (pequeña) n-categoría débil probablemente sea algo así. Tomar una pre-n-categoría C de todas las celdas, mapas origen y destino que hagan lo correcto (es decir, que sean globulares), y una composición definida para cada r en {0,...,n}.

Para C, defina una familia de conjuntos coherentes $(\Sigma\_1, \Sigma\_1, \ldots)$ como una familia de conjuntos $\Sigma_r$ de células r en C tales que

1. $f : a \rightarrow b \in \Sigma\_r \Rightarrow \exists f' : b \rightarrow a \in \Sigma\_r$
2. $f, f' : a \rightarrow b \in \Sigma\_r \Rightarrow \exists \alpha : f \rightarrow f' \in \Sigma\_{r+1}$

Ahora, supongamos que C admite una familia de conjuntos coherentes de este tipo y que todas las células r tienen asociadores, unificadores e intercambiadores en $\Sigma\_{r+1}$ uno podría estar tentado a decir que C es un $\infty$ -categoría. Si para todo $r \geq n+1$ , $\Sigma\_r$ es sólo identidades, se podría decir que esto define una n-categoría.

Así que, la razón por la que digo "uno podría estar tentado a decir" es que, si fuera tan fácil, alguien mucho más inteligente que yo ya lo habría hecho. :) Entonces, ¿en qué falla la receta anterior? ¿O esta definición no es satisfactoria porque no expresa la estructura mediante un conjunto generador finito de diagramas conmutativos (véase la coherencia de Mac Lane, etc.)?

Answer 1

Si entiendo bien lo que quieres decir, creo que la razón por la que esto falla es porque para n>2, no se puede esperar que todo diagrama de restricciones conmute (incluso hasta las restricciones superiores) en una categoría n débil. Por ejemplo, una categoría monoidal trenzada puede considerarse una categoría débil de 3 con una celda 0 y una celda 1, pero entonces el "doble giro" es un isomorfismo de restricción que no es igual a la identidad (también un isomorfismo de restricción).

Una forma de evitar esto es, en lugar de hablar de diagramas de restricciones en alguna categoría n particular, para hablar de diagramas "formales" de restricciones, es decir, diagramas de restricciones en un gratis n-categoría. Creo que cuando uno precisa su idea usando este enfoque corregido, uno terminará con algo muy similar a la definición de n-categoría débil de Batanin.