Método de cálculo
La serie de Taylor de una función de $d$ variables es como sigue:
$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \sum_{n_1=0}^{\infty}\ldots\sum_{n_d=0}^{\infty}
\frac{(y_1-x_1)^{n_1} \ldots (y_d - x_d)^{n_d}}{n_1!\ldots n_d!}
\a la izquierda. \left(
\partial_1^{n_1}\ldots \partial_d^{n_d} \right) f \right|_{\mathbf{x}}.$$
donde $\partial_i^{n_i} f$ "$n_i^{\text{th}}$ orden de la derivada parcial de $f$ con respecto al $i^{\text{th}}$ coordinar".
Considerar sólo los términos donde $\sum_{i=1}^{\infty} n_i = 1$.
Estos son los términos para los cuales no es sólo un derivado de ser tomado, una.k.una. los "términos lineales".
Mantener el $0^{\text{th}}$ fin de plazo y los términos lineales da
$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^{d}(y_i - x_i) \left. (\partial_i f \right)|_{\mathbf{x}} . \qquad (*)$$
Definir el desplazamiento $\epsilon = \mathbf{y} - \mathbf{x}$. Entonces
$$\epsilon \cdot \nabla = \sum_{i=1}^d (y_i - x_i) \partial_i$$
por definición de lo $\cdot$ medios. Por lo tanto, teniendo solo a términos lineales, $(*)$ se convierte en
$$f(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \left. (\epsilon \cdot \nabla)\right|_{\mathbf{x}}f . $$
Así que usted puede ver, su fórmula es correcta, sólo en una determinada notación usted no puede ser utilizado.
Método algebraico
Por el bien de escribir menos, voy a explicar esto en una dimensión, pero nada de lo dispuesto en el cálculo real se limita a una dimensión.
El vector de estado puede ser considerado como una combinación lineal de los vectores propios de la posición del operador
$$|\Psi\rangle = \int_x \Psi(x) |x\rangle \qquad (1)$$
donde $\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$.
Traer en un sujetador $\langle y |$ desde la izquierda y el uso de $\langle y | x \rangle = \delta(x-y)$ (1) da
$$\langle y | \Psi \rangle = \Psi(y) . \qquad (2)$$
La combinación de (1) y (2) da
$$|\Psi\rangle = \int_x |x\rangle \langle x| \Psi \rangle \qquad (3)$$
lo que muestra que $\int_x |x\rangle \langle x | = \text{Identity}$.
Vamos a entender realmente lo que significa todo esto:
Eq. (1) dice que se puede escribir un vector como una combinación lineal de los vectores de la base.
En este caso, $\Psi(x)$ son los coeficientes de la combinación lineal.
En otras palabras, la función de onda es sólo los coeficientes de la combinación lineal de expansión escrito en la posición de base.
Eq. (2) hace explícito, mostrando que el producto interior de una posición en la base de vectores $|y\rangle$ $|\Psi\rangle$ es, precisamente,$\Psi(y)$.
Eq. (3) sólo expresa una hermosa manera de expresar la identidad del operador de manera que vamos a encontrar muy útil.
Tenga en cuenta que esto funciona con cualquierbase.
Por ejemplo,
$$\int_p |p\rangle \langle p | = \text{identity} .$$
Podemos utilizar esto para expresar una posición del vector propio en términos de impulso vectores propios,
$$|x\rangle = \int_p |p\rangle \langle p | x \rangle = \int_p e^{-i x p/\hbar}|p\rangle ,$$
donde hemos utilizado el hecho de que $\langle x | p \rangle = e^{i p x/\hbar}$ [1].
Volvamos ahora a la pregunta en cuestión. Definir $|\Psi'\rangle \equiv e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar}|\Psi\rangle$.
Vamos a evaluar $\Psi'(y) \equiv \langle y|\Psi'\rangle$:
\begin{align}
\Psi'(y) &= \langle y | \Psi' \rangle \\
&= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |\Psi \rangle \\
&= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \int_x \Psi(x) |x\rangle \\
&= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle .
\end{align}
Para continuar tenemos que calcular el $e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle$.
Podemos hacer esto utilizando nuestra expresión de la identidad en términos de impulso de los estados,
$$
\begin{align}
e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle
&= e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \left( \int_p |p\rangle \langle p | \right) | x \rangle \\
&= \int_p e^{i \epsilon \hat{p} / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\
&= \int_p e^{i \epsilon p / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\
&= \int_p e^{i \epsilon p /\hbar} |p\rangle e^{-i p x/\hbar}\\
&= \int_p e^{-i(x - \epsilon) p / \hbar} |p\rangle \\
&= |x - \epsilon \rangle
\end{align}$$
Esto es en realidad la cosa que usted debe recordar acerca de esta pregunta:
$$e^{i\epsilon\hat{p}/\hbar}|x\rangle = |x - \epsilon \rangle .$$
Esta es una excelente ecuación, porque nos dice algo acerca de cómo un la $e^{i \epsilon \hat{p} /\hbar}$ operador de cambios de una posición del vector propio sin tener que escribirlo a cabo en una determinada base.
Ahora que tenemos esto, podemos volver a lo que estábamos tratando de calcular,
$$
\begin{align}
\Psi'(x) &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle \\
&= \int_x \Psi(x) \langle y | x - \epsilon \rangle \\
&= \int_x \Psi(x) \delta(y - (x - \epsilon)) \\
&= \Psi(y + \epsilon) .
\end{align}
$$
Esta es la ecuación que quería probar.
Si me equivocaba cualquier signos menos tengo la esperanza de que alguien va a editar :)
[1] no estoy demostrando que, y si quieres saber por qué eso es cierto sería una buena pregunta en este sitio.
