problema en la convergencia de la serie de $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\tan^{-1} \frac1n\right)^a$

Question

Encontrar el conjunto de todos los valores positivos de $a$ por lo que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\bronceado^{-1} \frac1n\right)^un $$ converge. Cómo va a depender de la el valor de a que es su fuerza de la expresión? Después de expandir el arco tan término que obtener el formulario de la suma de $[ -1/n^3(1/3+1/n^2+......]^a $. ahora, ¿cómo se hace depender de una ?

Answer 1

Sugerencia. Uno puede usar una expansión en series de Taylor, como $n \to \infty$, $$ \arctan \frac1n=\frac1n+O\left(\frac1{n^3}\right) $$ giving, as $n \to \infty$, $$ \left(\frac1n-\arctan \frac1n\right)^a=O\left(\frac1{n^{3a}}\right) $$ Espero que le puedas sacar de aquí.

Answer 2

Puesto que usted no pide que los valores de $a$ la serie converge, aquí es una heurística respuesta.

Al $n$ va a $\infty$, $\frac 1n$ va a$0$$\tan^{-1}(1/n)$$0$.

Así que el término general (sin el "$a$") de la serie va a $0$, así que hay una posibilidad razonable de que la serie converge.

Se van a converger si el término general que se va a $0$ lo suficientemente rápido.

Ese sería el caso si $a$ es lo suficientemente grande, pero no será el caso si $a$ es demasiado pequeño.