Resumen ejecutivo: Si se observa todo el esquema de Hilbert asociado a un polinomio dado, el lugar de los puntos correspondientes a los subesquemas no singulares (que yo entiendo como suaves) puede ser a veces muy pequeño en términos de dimensión y número de componentes irreducibles. Así que, en este sentido, la mayoría de los subesquemas son singulares.
Detalles: El esquema de Hilbert $\operatorname{Hilb}^P_{\mathbf{P}^n}$ asociado a un determinado polinomio de Hilbert $P$ es conectado (un teorema de Hartshorne), pero en general tiene muchos componentes irreducibles, cada uno con su propio punto genérico. Por lo tanto, hay varios subesquemas cerrados "genéricos" diferentes con el mismo polinomio de Hilbert, cada uno de los cuales es miembro de una familia diferente.
El lugar de los puntos del esquema de Hilbert correspondiente a suave (=no-singular) subesquemas de $\mathbf{P}^n$ es un subconjunto abierto de Zariski, lo que implica que es denso de Zariski en la unión de las componentes con las que se encuentra, pero a menudo hay otras componentes del esquema de Hilbert todos cuyos puntos corresponden a subesquemas singulares.
Dado que el esquema de Hilbert no tiene por qué tener un único punto genérico, cabe preguntarse: ¿Cuántos de estos puntos genéricos parametrizan subesquemas singulares, y cuáles son las dimensiones de las correspondientes componentes del esquema de Hilbert?
Como caso práctico, consideremos el esquema de Hilbert $H_{d,n}$ de $d$ puntos en $\mathbf{P}^n$ es decir, el caso en el que $P$ es el polinomio constante $d$ . Puntos de $H_{d,n}$ sobre un campo $k$ corresponden a $0$ -subesquemas dimensionales $X \subseteq \mathbf{P}^n$ de longitud $d$ o, en otras palabras, que $\dim_k \Gamma(X,\mathcal{O}_X) = d$ . Cada uno de los lisos $X$ con este polinomio de Hilbert es una unión disjunta de $d$ puntos distintos. Estos puntos suaves $X$ corresponden a puntos de un subesquema irreducible de $H_{d,n}$ y el cierre de este subesquema irreducible es un $dn$ -componente irreducible de la dimensión $R_{d,n}$ de $H_{d,n}$ . A veces $H_{d,n}=R_{d,n}$ lo que significa que cada $X$ es suavizable. Pero para cada fijo $n \ge 3$ Iarrobino observó que $\dim H_{d,n}$ crece mucho más rápido que $\dim R_{d,n}$ como $d \to \infty$ . (Lo demostró anotando grandes familias de $0$ -subesquemas dimensionales, como $\operatorname{Spec} (k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}^r)/V$ , donde $\mathfrak{m}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $V$ abarca subespacios de una dimensión fija en $\mathfrak{m}^{r-1}/\mathfrak{m}^r$ .) Esto demuestra que $H_{d,n}$ no es irreducible para tal $d$ y $n$ y que las componentes ``malas'' cuyos puntos parametrizan subesquemas singulares pueden tener una dimensión mucho mayor que la componente en la que un subconjunto abierto denso de puntos parametriza subesquemas suaves. Con un poco más de trabajo, se puede demostrar que el número de componentes irreducibles de $H_{d,n}$ puede ser arbitrariamente grande (y como ya se ha comentado, los propios componentes pueden tener una dimensión mayor que $R_{n,d}$ ). Así que en este sentido, se podría decir que para $n \ge 3$ La mayoría de las veces $0$ -subesquemas dimensionales en $\mathbf{P}^n$ son singulares.
Para más detalles sobre $H_{d,n}$ incluyendo ejemplos explícitos de no suavizables $0$ -de las dimensiones, véanse los siguientes artículos y las referencias citadas en ellos:
El espacio de moduli de las álgebras conmutativas de rango finito
Esquemas de Hilbert de 8 puntos
(Advertencia: mi notación $H_{d,n}$ es diferente de la notación de esos artículos).
